Otwórz menu główne
Cross ratio01.svg

Dwustosunek (stosunek anharmoniczny) czterech współliniowych punktów – funkcja postaci

gdzie punkty A, B, C, D spełniają

oraz jest współrzędną punktu X w układzie współrzędnych na danej prostej. Jest to podstawowe pojęcie geometrii rzutowej.

Jak widać, powyższa definicja zakłada istnienie układu współrzędnych na rozpatrywanej prostej.

Jeśli dwustosunek stosujemy na płaszczyźnie euklidesowej to wystarczy zbudować dowolny kartezjański układ współrzędnych wykorzystując relację przystawania i relację prostopadłości. Jeśli stosujemy go na płaszczyźnie rzutowej to trzeba zbudować jakiś rzutowy układ współrzędnych wykorzystując relację harmoniczności punktów rzutowych

Wybór układu współrzędnych z wielu możliwych nie wpływa na wartość dwustosunku.

Spis treści

Własności arytmetyczne dwustosunkuEdytuj

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.   (  oznacza prostą,   jest ciałem liczbowym).

W niektórych ujęciach powyższe własności dołączane są do aksjomatyki 2-wymiarowej geometrii rzutowej[1] jako aksjomaty opisujące pierwotną funkcję dwustosunku.

Ponadto

  1.  
  2.  
  3.  

Rzutowy charakter dwustosunkuEdytuj

Ostatni przykład z poprzedniej sekcji pokazuje, że w istocie dwustosunek jest funkcją o wartościach w zbiorze   Zbiór ten można rozumieć jako zbiór liczb rzeczywistych domknięty do okręgu punktem w nieskończoności. Omawiana własność w symbolicznym zapisie przybierze postać:

 

Taki punkt widzenia można poszerzyć uwzględniając, że w każdym rzeczywistym modelu płaszczyzny(przestrzeni) rzutowej proste są homeomorficzne z okręgiem i tzw. punkty w nieskończoności są tak samo „dobrymi” punktami jak pozostałe, a ich wyjątkowość wynika jedynie z wybranego układu współrzędnych. Inaczej mówiąc, dopuszcza się, aby niektóre z punktów były punktami w nieskończoności:

  1.   (stosunek podziału odcinka),
  2.  
  3.  

Znak dwustosunku a relacja rozdzielaniaEdytuj

 
Punkty A,B nie rozdzielają punktów C,D. Jednocześnie punkty A,C rozdzielają punkty B,D.

Na prostej rzutowej homeomorficznej z okręgiem zamiast nieprzydatnej relacji leżenia między stosuje się relację rozdzielania, która umożliwia wyróżnienie jednego z dwóch wnętrz odcinka, a przez to zdefiniowanie topologii na prostej rzutowej. W niektórych aksjomatykach rozdzielanie wprowadzane jest jako pojęcie pierwotne[2].

Zachodzi ważna zależność:

  • Jeśli para punktów   rozdziela parę punktów   to  
  • Jeśli para punktów   nie rozdziela pary punktów   to  

Szczególny przypadek rozdzielania punktów C,D przez punkty A,B zachodzi, gdy

 

W pewnym rzutowym układzie współrzędnych odpowiada to punktom o współrzędnych   bowiem

 

Z samej zasady konstruowania takiego układu wynika, że punkty o tych współrzędnych mogą być wyznaczone przy użyciu czworokąta zupełnego – o punktach takich mówi się wtedy, że tworzą czwórkę harmoniczną lub że rozdzielają się harmonicznie.

Dwustosunek jako niezmiennik przekształceń rzutowychEdytuj

Dwustosunek jest najprostszą funkcją metryczną będącą niezmiennikiem przekształceń rzutowych. Albo odwrotnie – dwustosunek jest niezmiennikiem dowolnych przekształceń płaszczyzny z przekształceniami rzutowymi włącznie.

Znaczenie tego niezmiennika na tle innych niezmienników ilustruje poniższa tabela (za[1]):

Niezmiennik Największa grupa przekształceń zachowująca niezmiennik
Odległość między punktami izometrie
Miara kąta w trójkącie podobieństwa
Stosunek podziału odcinka przekształcenia afiniczne
Dwustosunek przekształcenia rzutowe

Z zestawienia widać, że stosunek podziału odcinka na ogół zmienia się przy przekształceniach rzutowych. Tymczasem dwa różne stosunki podziału (stąd „dwustosunek”) tego samego odcinka zmieniają się proporcjonalnie do siebie. Czyli ich iloraz jest stały:

 

Tutaj w liczniku i w mianowniku mamy dwa różne podziały odcinka   w liczniku punktem   w mianowniku punktem  

Niezmienniczość dwustosunku względem przekształceń rzutowych można dość łatwo wykazać przy użyciu funkcji homograficznej

 

gdzie  

Funkcja homograficzna jest bowiem analityczną postacią dowolnego przekształcenia rzutowego na prostej, na której określono jakiś układ współrzędnych.

Określamy funkcję   przypisującą punktowi   o współrzędnej   punkt   o współrzędnej

 

dla pewnych p,q,r,s  

Wówczas

 

bowiem, co rachunkowo łatwo sprawdzić

 

Dwustosunek w modelu Kleina geometrii hiperbolicznejEdytuj

Ciekawym zastosowaniem dwustosunku jest definicja odległości dwóch punktów w modelu Kleina geometrii hiperbolicznej.

Jeśli   są punktami płaszczyzny hiperbolicznej,   są punktami przecięcia   z horyzontem to:

 

Ponieważ   nigdy nie rozdzielają   więc dla   zachodzi   tzn.   jest zawsze określona i dodatnia.

Z wyżej omówionych arytmetycznych własności dwustosunku (oraz własności funkcji ln) natychmiast dostajemy:

  •  
  •  
  • jeśli   są współliniowe i   leży między   to  

Nieco trudniejszy jest dowód własności:

  • izometria zachowuje wartość  

tutaj izometrie rozkłada się na symetrie osiowe, a te realizuje się za pomocą pewnej kolineacji środkowej, w której środek jest biegunem osi symetrii względem kołowego horyzontu. A skoro kolineacje jako przekształcenia rzutowe zachowują dwustosunek więc zachowują wartość  

Wymienione cztery własności funkcji   gwarantują, że funkcja   jest miarą w modelu Kleina.

Dwustosunek pęku prostychEdytuj

Jeśli pęk czterech prostych przetniemy dwiema różnymi prostymi (nie przechodzącymi przez środek pęku) to każda z tych dwóch prostych wyznaczy po cztery punkty przecięcia z prostymi pęku. Jedna z tych czwórek punktów tj.   jest w oczywisty sposób obrazem pierwszej czwórki   w pewnej kolineacji środkowej. Oznacza to, że   Ponieważ dwustosunek nie zależy od wyboru tych prostych jest on więc stały dla pęku prostych. I można go przyjąć jako definicję dwustosunku pęku czterech prostych:

Dwustosunek pęku czterech prostych jest dwustosunkiem odpowiednich czterech punktów otrzymanych z przecięcia tego pęku przez dowolną prostą nieprzechodzącą przez środek pęku.

Konfiguracja dualna składa się z dwóch pęków prostych   oraz   i z prostej przecinającej oba pęki w punktach przecięcia się odpowiednich prostych obu pęków.

Zgodnie z powyższą definicją dwustosunku pęku prostych oba pęki mają identyczny dwustosunek.


Na płaszczyźnie euklidesowej dwustosunek pęku czterech prostych można wyliczyć wprost z następującego wzoru:

 

gdzie   są współrzędnymi kątowymi wybranych półprostych z prostych pęku.

Wybór początku układu biegunowego ani wybór jednej z dwóch możliwych półprostych na każdej prostej pęku nie wpływa na wartość powyższego wyrażenia.

Poprawność powyższego wzoru (tj. zgodność z definicją dwustosunku pęku prostych) łatwo udowodnić stosując np. twierdzenie sinusów.

Uwaga: Na płaszczyźnie rzutowej zastosowanie ostatniego wzoru wymaga uprzedniego zmetryzowania płaszczyzny, co pozwoli na wprowadzenie pojęcia kąta a tym samym biegunowego układu współrzędnych.

PrzypisyEdytuj

  1. a b L. Dubikajtis, Wiadomości z geometrii rzutowej, PZWS, Warszawa 1972.
  2. K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii, BM 10.