Dynamiczne równanie ruchu

Dynamiczne równanie ruchu (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. prędkości, położenia) jako funkcję aktualnego stanu układu[1][2]. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy II zasadę dynamiki Newtona, zapisaną w postaci równania różniczkowego. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:

gdzie funkcja wektorowa jest siłą działającą na ciało w chwili w punkcie przestrzeni wyznaczonym przez wektor wodzący Wzór ten redukuje się do prostszej postaci, jeżeli siła dana jest w sposób jawny, np. wynika ze znanego potencjału pola sił.

Jeżeli prawa strona jest funkcją ciągłą, to przez punkt w przestrzeni wyznaczony przy zadanych warunkach brzegowych (położenie i prędkość w danej chwili) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Jeżeli istniałaby istota, która w danej chwili poznałaby położenie i pęd wszystkich cząstek elementarnych we wszechświecie, to zgodnie z prawami mechaniki klasycznej mogłaby poznać prawą stronę powyższego równania i jednoznacznie wyznaczyć tor ruchu każdej z cząstek. Innymi słowy istota ta znałaby przeszłość i przyszłość wszechświata.

Dowolne współrzędne krzywolinioweEdytuj

Niech współrzędne krzywoliniowe   tworzą układ współrzędnych w przestrzeni   Oznaczmy przez   wersory kierunków stycznych do osi tego układu[2].

Jeżeli   jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami:

 

Ponieważ

 

zatem

(1)  

Na podstawie wzoru dla prędkości

 

mamy

(2)  

i dzięki temu

 

Mamy również

(3)  

oraz

(4)  

Z porównania prawych stron (3) i (4) wynika, że

 

Mamy zatem

(5)  

Po podstawieniu (2) i (5) do (1) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów wektora przyspieszenia na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

 

Podstawowe równanie dynamikiEdytuj

Podstawowe równanie dynamiki ruchu punktu materialnego o masie   ma postać

 

i jest równoważne trzem równaniom skalarnym we współrzędnych kartezjańskich

 

W ogólnym przypadku współrzędnych krzywoliniowych otrzymujemy[2]

 

gdzie   jest rzutem na odpowiednią oś współrzędnych   wypadkowej   sił działających na punkt materialny, a   prędkością tego punktu.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретическоой механики, t.I, Гос. Издат. технико-теоретической литературы, Москва 1954
  2. a b c G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960