Dyskretyzacja kontinuum

Dyskretyzacja kontinuum stanowi dzisiaj podstawę większości metod rozwiązywania zagadnień mechaniki ośrodków ciągłych. Koncepcja dyskretyzacji[1][2][3] została matematycznie uogólniona między innymi dla zastosowań numerycznego całkowania równań różniczkowych i teorii aproksymacji. Interesujący jest fakt, że idea dyskretyzacji znalazła swój początek w mechanice budowli, a konkretnie w metodzie przemieszczeń[4] stosowanej od dawna w obliczeniach konstrukcji budowlanych.

Idea dyskretyzacjiEdytuj

Istota dyskretyzacji polega na tym, że opis pola przemieszczeń   punktu kontinuum, o wektorze wodzącym   za pomocą funkcji ciągłej   zostaje zastąpiony opisem dyskretnym.

Opis ten polega na tym, że rozważane kontinuum zostaje podzielone na elementy o skończonych wymiarach (tzw. elementy skończone) z wyróżnionymi punktami węzłowymi. W każdym węźle, w przypadku ogólnym, zostaje wprowadzone po sześć parametrów geometrycznych (trzy przemieszczenia liniowe i trzy kątowe). Pole przemieszczeń wewnątrz każdego z elementów jest aproksymowane za pomocą prostych funkcji np. odpowiednich wielomianów, zbudowanych na bazie parametrów węzłowych. W ten sposób pole przemieszczeń całego rozważanego kontinuum zostaje opisane za pomocą wektora

 

o skończonej, zazwyczaj dużej, liczbie współrzędnych (parametrów węzłowych). Otrzymuje się w ten sposób dyskretny model kontinuum. Dzięki temu własności sprężyste, tłumiące i bezwładnościowe mogą być w sposób jednoznaczny opisane za pomocą trzech macierzy (bezwładności, tłumienia i sztywności) o skończonych wymiarach, odpowiednio

 

Równanie ruchuEdytuj

Równanie równowagi (ruchu) modelu dyskretnego można zapisać, wykorzystując zasadę d’Alemberta, w postaci sumy sił czynnych działających na ten model

 

gdzie:

  – wektor sił bezwładności,
  – wektor sił tłumiących,
  – wektor sił sprężystych,
  – wektor sił obciążających (wymuszających).

Uwzględniając związki

 

otrzymujemy równanie

 

opisujące ruch modelu o n stopniach swobody.

Macierze   można też zapisać następująco

 

i wówczas wektory   mogą być interpretowane jako reakcje więzów węzłowych (siły bierne) równoważące działanie sił czynnych spowodowanych odpowiednio: jednostkowym przyspieszeniem   jednostkową prędkością   i jednostkowym przemieszczeniem  

Korzystając z tej interpretacji można obliczyć wartości poszczególnych elementów macierzy M, C i K.

Równanie o postaci (a) stanowi podstawę analizy statycznej i dynamicznej modeli o skończonej liczbie stopni swobody.

AgregacjaEdytuj

Macierze M, C i K, występujące w równaniu (a) i opisujące ruch całego modelu dyskretnego, nazywane są macierzami globalnymi zwykle o znacznych rozmiarach. W praktyce obliczeniowej powstają one z małych macierzy lokalnych opisujących własności poszczególnych elementów skończonych. Odbywa się to w procesie nazywanym agregacją. Polega ona na wykorzystaniu faktu, że elementy sąsiadujące ze sobą mają wspólne stopnie swobody. Z tego powodu elementy małych macierzy lokalnych są odpowiednio rozmieszczane (i sumowane) w dużych macierzach globalnych na właściwych miejscach. Agregacja stanowi procedurę istotną i charakterystyczną dla metody elementów skończonych.

PrzypisyEdytuj

  1. Ciałkowski M.J., Magnucki K., Zarys metody elementów skończonych, Politechnika Poznańska Poznań 1982.
  2. Kruszewski J., Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, Arkady Warszawa 1984.
  3. Postonow W.A. i inni, Metod super-elementow w rasczetach inżeniernych soorużenij, „Sudostrojenie” Leningrad 1979.
  4. Olszowski B., Radwańska M., Mechanika budowli, Politechnika Krakowska Kraków, 2010, rozdz. 15.