Dystrybuanta

Dystrybuanta (fr. „rozdzielać, rozdawać” z łac. distributio zob. dystrybucja) – funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej[1]), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa, ponieważ są obiektami prostszymi niż rozkłady prawdopodobieństwa. W statystyce dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną i jest blisko związana z pojęciem rangi.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie rozkładem prawdopodobieństwa na prostej. Funkcję   daną wzorem

 

nazywamy dystrybuantą rozkładu  

WłasnościEdytuj

Funkcja   jest dystrybuantą (pewnego rozkładu prawdopodobieństwa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona niemalejąca, prawostronnie ciągła oraz

 
Uwaga 1
Powyższe twierdzenie podaje warunek konieczny i wystarczający na to, by funkcja była dystrybuantą, dlatego czasami to właśnie je przyjmuje się jako definicję. Podejście takie może być korzystniejsze z tego względu, iż nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu pochodzącego z teorii miary. Wówczas taka definicja zawiera ciche założenie, że istnieje rozkład, którego ta funkcja jest dystrybuantą.
Uwaga 2
Dystrybuanta   wyznacza pewien rozkład   jednoznacznie i na odwrót, więc gdy zachodzi potrzeba całkowania pewnej funkcji borelowskiej   względem rozkładu   to można mówić, że całkujemy ją względem dystrybuanty   co zapisuje się:
 
Uwaga 3
Niekiedy[2] w definicji dystrybuanty stosuje się przedział otwarty:
 
Dystrybuanta jest wówczas funkcją lewostronnie ciągłą (w przeciwieństwie do przypadku gdy w definicji stosuje się przedział prawostronnie domknięty i dystrybuanta jest funkcją prawostronnie ciągłą).

Punkty skokoweEdytuj

Punkt skokowy dystrybuanty to punkt   dla którego dystrybuanta   spełnia warunek:

 

tzn. jest to jej punkt nieciągłości.

W przypadku dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa punkty skokowe występują dla każdej wartości zmiennej losowej, dla której ma ona dodatnie prawdopodobieństwo i tylko tam. W przypadku bezwzględnie ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa nie ma punktów skokowych dystrybuanty. Zbiór punktów skokowych dystrybuanty jest co najwyżej zbiorem przeliczalnym.

PrzykładyEdytuj

 
Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych o różnych parametrach.
 
  • Dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach   i  
 
 

GęstośćEdytuj

Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję   nazywamy gęstością dystrybuanty   wtedy i tylko wtedy, gdy dla  

 

WłasnościEdytuj

  • Jeżeli   jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z   po całej prostej wynosi  
  • Jeżeli   i   są gęstościami pewnej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie.
  • Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą.
  • Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna.
  • Jeśli dystrybuanta   ma gęstość, to dla  
 

Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: jeśli   jest dystrybuantą rozkładu   to często zachodzi konieczność całkowania względem miary   Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli   jest gęstością dystrybuanty   to

 

dla każdego zbioru borelowskiego   i dla każdej funkcji borelowskiej   przyjmującej wartości w   dla pewnej liczby naturalnej  

Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstościEdytuj

Istnieją ciągłe dystrybuanty niemające gęstości. Klasycznym przykładem jest:

 

gdzie   oznacza funkcję Cantora.   jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału   Dystrybuanta   nie może mieć zatem gęstości ponieważ   prawie wszędzie.

Funkcja charakterystycznaEdytuj

Jeżeli   jest dystrybuantą, to funkcję   określoną wzorem

 

nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty  

Jeżeli   jest funkcją charakterystyczną pewnej dystrybuanty, to jest ona funkcją jednostajnie ciągłą oraz

  1.  
  2.   dla  
  3.   dla  

Jednym z praktycznych zastosowań funkcji charakterystycznej jest tzw. wzór na odwrócenie, dokładniej, jeśli   jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty   a   są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to

 

Dowód tego faktu przeprowadza się w oparciu o twierdzenie Fubiniego.

Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe. Funkcje charakterystyczne mówią także o własnościach dystrybuanty, związanych z gładkością – dokładniej, jeśli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy  

Zbieżność a ciągłośćEdytuj

Słaba zbieżnośćEdytuj

Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Ciąg dystrybuant   jest słabo zbieżny do dystrybuanty   wtedy i tylko wtedy, gdy

 

dla każdego   będącego punktem ciągłości dystrybuanty  

  • W powyższej definicji istotne jest założenie „do dystrybuanty”. Jest tak, ponieważ ciąg dystrybuant może być zbieżny do funkcji, która nie jest dystrybuantą.
Przykład
Niech dany będzie ciąg dystrybuant:
 
Wówczas dla każdego     ale funkcja   nie jest dystrybuantą.
  • Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty, to do dokładnie jednej dystrybuanty. Ważnym twierdzeniem dotyczącym słabej zbieżności jest poniższe twierdzenie Helly’ego.

Twierdzenie Helly’egoEdytuj

Jeżeli ciąg dystrybuant   jest słabo zbieżny do dystrybuanty   a   jest ograniczoną funkcją ciągłą, to

 

Wnioskiem z twierdzenia Helly’ego jest fakt, że jeśli   jest ciągiem dystrybuant, a   ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych oraz   jest punktowo zbieżny do dystrybuanty   to ciąg   jest punktowo zbieżny do funkcji charakterystycznej funkcji  

Twierdzenie Lévy’ego-CraméraEdytuj

Niech   będzie ciągiem dystrybuant, a   będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg   jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji   wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg   jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty     jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty  

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant   jest słabo zbieżny do dystrybuanty   wtedy i tylko wtedy, gdy

 

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej  

Zbieżność jednostajnaEdytuj

Każdy ciąg dystrybuant zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej jest zbieżny do niej jednostajnie. Fakt ten można udowodnić, korzystając z jednostajnej ciągłości dystrybuanty ciągłej.

Dystrybuanta zmiennej i wektora losowegoEdytuj

Niech   będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną.

Jeśli   jest zmienną losową, to funkcja   dana wzorem:

 [3],  

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą zmiennej  

 

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą wektora  

Każda zmienna losowa (wektor losowy) wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (wektora losowego).

PrzypisyEdytuj

  1. Można także rozważać dystrybuanty rozkładów prawdopodobieństwa w przestrzeni   dla pewnego  
  2. Np. w Mieczysław Sobczyk: Statystyka: aspekty praktyczne i teoretyczne. Lublin: Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, 2006, s. 74, 75. ISBN 83-227-2423-3.
  3. W praktyce stosuje się zapis   albo nawet  

BibliografiaEdytuj

  • Patrick Billingsley: Prawdopodobieństwo i miara. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.
  • Andrzej Pacut: Prawdopodobieństwo. Teoria, modelowanie probabilistyczne w technice. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1985, s. 484, 485. ISBN 83-204-0524-6.
  • Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 12. ISBN 83-01-09054-5.