Dywan Sierpińskiego

Dywan Sierpińskiego po 6 krokach

Dywan Sierpińskiegofraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów. Nazwa pochodzi od nazwiska Wacława Sierpińskiego.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie kartezjańskiej   czyli   Dla danego   mając zbiór   będący sumą   kwadratów o bokach długości   i rozłącznych wnętrzach, definiujemy zbiór   będący sumą   kwadratów o bokach długości   i rozłącznych wnętrzach następująco: każdy z kwadratów, których sumą jest zbiór   dzielimy na 9 kwadratów o bokach długości   i rozłącznych wnętrzach i usuwamy ze zbioru   wnętrza środkowych kwadratów. Dywan Sierpińskiego D jest częścią wspólną ciągu zbiorów  

 

Alternatywna definicjaEdytuj

Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów   takich że w rozwinięciu liczb   i   w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.

Topologicznym dywanem Sierpińskiego nazywamy każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z powyżej zdefiniowanym dywanem Sierpińskiego.

Własności dywanu SierpińskiegoEdytuj

  • Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1,8928...
  • Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe
Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy z każdego z kwadratów składowych środkowy kwadrat o polu 9 razy od niego mniejszym, pozostaje zaś z niego 8 kwadratów o łącznym polu równym   jego pola. Niech   oznacza pole zbioru   Mamy zatem:
 

skąd:

 
Zatem dla   dostatecznie dużych   jest dowolnie małe, co oznacza, że dywan Sierpińskiego zawarty jest w figurach o dowolnie małych polach powierzchni, musi zatem mieć zerowe pole powierzchni.
  • Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Roman Duda: Wprowadzenie do topologii, Część I, Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1986, s. 247–248. ISBN 83-01-05714-9.
  • Ryszard Engelking, Karol Sieklucki: Geometria i topologia, Część II, Topologia. Warszawa: PWN, 1980, s. 131–132. ISBN 83-01-01371-0.