Działanie grupy na zbiorze

Dla danego trójkąta równobocznego, obroty o kąty 120°, 240°, 0° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół środka trójkąta tworzą grupę działającą na zbiorze wierzchołków trójkąta.

Działanie grupy – sposób opisania symetrii obiektów za pomocą pojęcia grupy. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą zbioru, a jego symetrie za pomocą jego grupy symetrii, która składa się z wzajemnie jednoznacznych przekształceń geometrycznych wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także grupą permutacji (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub grupą przekształceń (szczególnie, gdy zbiór jest przestrzenią liniową, a grupa działa jak przekształcenia liniowe zbioru).

Działanie grupy jest elastycznym uogólnieniem pojęcia grupy symetrii, w której każdy jej element „działa” jak wzajemnie jednoznaczne przekształcenie (lub „symetria”) pewnego zbioru, lecz bez utożsamiania tego elementu ze wspomnianym przekształceniem. Pozwala to bardziej wyczerpująco opisać symetrie obiektu, takiego jak wielościan, przez zadziałanie tej samej grupy na kilku różnych zbiorach, np. zbiorze wierzchołków, zbiorze krawędzi i zbiorze ścian wielościanu.

Niezmienniczość działania grup na obiektach geometrycznych była główną ideą tzw. programu erlangeńskiego Feliksa Kleina. Ewaryst Galois w swoich pracach dotyczących rozwiązywania wielomianów przez pierwiastniki badał działanie grup Galois na zbiorach pierwiastków wielomianu[1].

Umożliwiając stosowanie idei geometrycznych do bardziej abstrakcyjnych tworów działania grup dostarczają wysokiego poziomu abstrakcji. Wiele obiektów matematycznych ma naturalnie określone na sobie działanie grupy. W szczególności grupy mogą działać także na innych grupach, a nawet na samych sobie. Mimo wspomnianej ogólności teoria działań grup zawiera szeroko stosowane w praktyce twierdzenia, jak np. twierdzenie o orbitach i stabilizatorach, które mogą być środkiem podczas dowodzenia mocnych wyników w innych działach matematyki.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie grupą, a   oznacza pewien zbiór, którego elementy nazywane punktami będą oznaczane pismem prostym. Wówczas (lewostronnym) działaniem grupy   na zbiorze   nazywa się funkcję dwuargumentową

 

spełniającą następujące dwa aksjomaty:

  •  
  •  

gdzie   są dowolnymi elementami grupy   element   należy do zbioru   zaś   oznacza element neutralny w   Zbiór   nazywa się wtedy (lewostronnym)  -zbiorem, co formalnie można oznaczać parą uporządkowaną   o grupie   mówi się zaś, że działa na   (z lewej strony).

Homomorfizm w grupę symetrycznąEdytuj

Powyższe dwa aksjomaty gwarantują, że dla każdego   funkcja przekształcająca   w   jest bijekcją   zbioru   Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, wyznaczaną jednoznacznie przez element   bijekcję   oznacza się niekiedy symbolem   lub nawet   Dlatego też działanie grupy może być zdefiniowane jako homomorfizm grupowy   z   w grupę symetryczną   wszystkich bijekcji   dany wzorem   Z tego też powodu dowolny homomorfizm   można nazywać działaniem grupy na zbiorze.

Działanie to przypisuje każdemu elementowi grupy permutację   w taki sposób, że

  • permutacją   odpowiadającą elementowi neutralnemu   jest odwzorowanie tożsamościowe  
  • permutacją   odpowiadającą iloczynowi   dwóch elementów tej grupy jest złożenie permutacji przypisanych do   oraz  

Ponieważ każdy element w   reprezentowany jest jako permutacja, działanie grupy nazywa się także reprezentacją permutacyjną[a].

Działania lewo- i prawostronneEdytuj

Analogicznie można zdefiniować prawostronne działanie grupy   na   jako funkcję   spełniającą aksjomaty

  •  
  •  

Różnicą między działaniami lewostronnym i prawostronnym jest kolejność w jakiej iloczyn   działa na   W działaniu lewostronnym najpierw działa   a potem   zaś w prawostronnym wpierw działa   a następnie   Działanie lewostronne może być otrzymane z prawostronnego za pomocą złożenia z operacją odwracania z grupy. Jeżeli   jest działaniem prawostronnym, to

 

jest działaniem lewostronnym, ponieważ

 

oraz

 

Podobnie można przekształcić każde działanie lewostronne w prawostronne. Stąd w dalszej części rozważane będą wyłącznie lewostronne działania grupy, ponieważ działania prawostronne nic nie dodają.

PrzykładyEdytuj

  • Działanie trywialne dowolnej grupy   jest określone jako   dla wszystkich   oraz wszystkich   tj. cała grupa   indukuje permutację tożsamościową na  
  • Jeżeli   jest niepustym zbiorem, a   to odwzorowanie   dane wzorem   jest działaniem grupy na zbiorze. Zapis   wydaje się tym bardziej naturalny, ponieważ działaniu temu odpowiada homomorfizm identycznościowy; jest to „największe” działanie grupy na tym zbiorze, gdyż składa się z wszystkich jego permutacji. W szczególności grupa symetryczna   i jej podgrupy działają na zbiorze skończonym   permutując jego elementy.
  • Grupa symetrii dowolnego obiektu geometrycznego działa na zbiorze jego punktów, w szczególności grupa symetrii wielościanu działa na jego zbiorze wierzchołków (a także na zbiorze jego ścian).

Stabilizator, orbita, punkt stałyEdytuj

Nazwy te nawiązują do intuicji astronomicznych/geometrycznych dotyczących badania ruchów. Stabilizator elementu należącego do zbioru to zbiór elementów grupy, które nie „poruszają” elementu, stąd stabilizator całego zbioru to te elementy, które „nie poruszają” elementów zbioru (stabilizują je). Inną nazwą stabilizatora jest grupa izotropii (isos – równy, jednakowy, trópos – zwrot, obrót, zob. izotropia). Punkty stałe to punkty, które nie są „poruszane” przez żaden element grupy, czyli stabilizowane przez całą grupę.

Orbita to zbiór punktów, do których można przejść z danego punktu przy działaniu grupy. Same orbity są rozłączne, a punkty mogą przechodzić wyłącznie na punkty należące do tej samej orbity (każdy punkt należy do pewnej orbity). Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się tranzytywnym. Jeśli wyłącznie element neutralny grupy stabilizuje zbiór, to działanie nazywa się wiernym lub efektywnym.

DefinicjeEdytuj

Niech grupa   działa na zbiorze   oraz   Zapis działania   zostanie zarzucony na rzecz   co uwydatni sens oznaczeń poszczególnych obiektów.

Zbiór

 

nazywa się orbitą elementu (wyznaczaną przez element)   czasami oznacza się go również po prostu   (w nawiązaniu do oznaczenia działania jako  ).

Zbiór wszystkich orbit w   ze względu na działanie grupy   zapisuje się symbolem   i nazywa ilorazem działania; w kontekście geometrycznym obiekt ten może być nazywany przestrzenią orbit.

Zbiór

 

nazywa się stabilizatorem bądź grupą izotropii elementu   który oznacza się również symbolem   Zbiór wszystkich stabilizatorów elementów zbioru   nazywa się stabilizatorem (zbioru) bądź grupą izotropii (zbioru) i oznacza   lub  

Punkt   nazywa się punktem stałym, jeżeli spełnia on warunek

  czyli   dla każdego  

co jest równoważne

 

Zbiór punktów stałych wyznaczanych przez element   oznacza się   a zbiór wszystkich punktów stałych jest zapisywany jako  

WłasnościEdytuj

Orbity

Własności grupy gwarantują, że zbiór orbit w   tworzy podział tego zbioru ze względu na działanie grupy   Relacja równoważności wyznaczająca ten podział dana jest wzorem

 

a orbity są klasami abstrakcji tej relacji, a więc dwa elementy są uważane za równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy oba wyznaczają tę samą orbitę (leżą w jednej orbicie), tzn.  

Stabilizatory

Stabilizator   punktu   jest podgrupą w   Wynika to z faktu, iż wraz ze stałą na pewnym punkcie bijekcją wyznaczaną przez dany element do stabilizatora należy bijekcja do niej odwrotna, która również jest stała na pewnym punkcie oraz tego, iż złożenie dwóch bijekcji stałych na danym punkcie również jest stałe na tym punkcie. Zwykle nie jest to jednak podgrupa normalna. Grupa   działa na   w sposób wolny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie stabilizatory są trywialne.

Stabilizator   całego zbioru to przecięcie wszystkich stabilizatorów elementów tego zbioru, gdyż przecięcie podgrup danej grupy również jest jej podgrupą. Tłumaczy to nazwę „grupa izotropii”.

Stabilizator zbioru   można zdefiniować jako zbiór   Innymi słowy są to te elementy grupy   które wyznaczają przekształcenia tożsamościowe na zbiorze   czyli   Wynika stąd, że   jest podgrupą normalną w   jako jądro homomorfizmu  

TwierdzenieEdytuj

Niech będzie dane dla ustalonego   przekształcenie   dane wzorem   Obrazem tego odwzorowania jest orbita wyznaczana przez punkt   a koobraz jest zbiorem wszystkich warstw lewostronnych stabilizatora   Zwykłe twierdzenie o ilorazie teorii grup daje naturalną bijekcję między grupą ilorazową   a   Bijekcja ta dana jest wzorem   Wynik ten znany jest w literaturze angielskiej jako „twierdzenie o orbitach i stabilizatorach” (ang. orbit-stabilizer theorem) lub „twierdzenie o klasyfikacji G-orbit” (ang. classification of G-orbits).

WnioskiEdytuj

Zliczanie elementów

Powyższe twierdzenie wraz z twierdzeniem Lagrange’a daje

 

Dla   i   są skończonych dodatkowo zachodzi

 

Wynik ten stosuje się szczególnie często podczas zliczania elementów zbioru.

Sprzężenie stabilizatorów

Należy zauważyć, że jeżeli dwa elementy   należą do tej samej orbity, to ich podgrupy stabilizujące  izomorficzne (lub sprzężone). Dokładniej: jeśli   to   O punktach mających sprzężone podgrupy stabilizujące mówi się, że mają ten sam typ orbity.

Lemat Burnside’a

Wynikiem blisko związanym z powyższym twierdzeniem jest lemat Burnside’a:

 

gdzie   to zbiór punktów stałych wyznaczanych przez element   Z wyniku tego korzysta się głównie, gdy tak   jak i   są skończone, można go wówczas interpretować następująco: liczba orbit jest równa średniej liczbie punktów stałych przypadających na jeden element grupy.

Zbiór różnic formalnych skończonych  -zbiorów tworzy pierścień nazywany pierścieniem Burnside’a, gdzie dodawanie odpowiada sumie rozłącznej, a mnożenie iloczynowi kartezjańskiemu.

RodzajeEdytuj

Działanie grupy   na zbiorze   jest:

  • przechodnie lub tranzytywne, jeżeli dla dowolnych punktów   istnieje element   taki, że   czyli zbiór zawiera wyłącznie jedną orbitę.
    • ściśle przechodnie (tranzytywne), jeżeli wspomniane   jest dokładnie jedno; jest to równoważne niżej zdefiniowanej regularności.
  • n-przechodnie (n-tranzytywne), jeżeli dla dowolnych parami różnych   i parami różnych   istnieje takie   dla   Działanie 2-przechodnie (2-tranzytywne) nazywa się czasami dwukrotnie przechodnim (tranzytywnym), 3-przechodnie (3-tranzytywne) – trzykrotnie przechodnim (tranzytywnym) itd.
    • ściśle n-przechodnie (tranzytywne), jeśli istnieje dokładnie jedno takie  
  • wierne bądź efektywne, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych   istnieje   taki, że   równoważnie: jeżeli dla dowolnego   istnieje   taki, że   intuicyjnie: różne elementy   indukują różne permutacje  
  • wolne, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych   i wszystkich   zachodzi   równoważnie, jeżeli   dla pewnego   to  
  • regularne, jeżeli jest zarazem przechodnie i wolne; jest to równoważne warunkowi, iż dla każdych dwóch   istnieje dokładnie jedno   takie, że   W tym przypadku o   mówi się, że jest główną przestrzenią jednorodną lub że jest  -torsorem.
  • lokalnie wolne, jeżeli   jest grupą topologiczną i istnieje otoczenie   elementu   takie, że ograniczenie działania do   jest wolne; to znaczy, jeżeli   dla pewnego   i pewnego   to  

Każde działanie wolne na niepustym zbiorze jest wierne. Grupa działa wiernie na   wtedy i tylko wtedy, gdy jego stabilizator jest trywialny, tzn. homomorfizm   opisujący działanie ma trywialne jądro, czyli jest monomorfizmem (zanurzeniem). Stąd przy wiernym działaniu grupa   jest izomorficzna z grupą permutacji w   w szczególności   jest izomorficzna z własnym obrazem w  

Jeżeli   nie działa wiernie na   można w łatwy sposób zmodyfikować grupę tak, by uzyskać działanie wierne. Grupa ilorazowa   działa wiernie na   według wzoru   Pierwotne działanie   na   jest wierne wtedy i tylko wtedy, gdy  

PorównywanieEdytuj

Niech   oraz   działają odpowiednio na zbiorach   oraz   Podobieństwem między   a   nazywa się parę   złożoną z izomorfizmu   oraz bijekcji   związanych ze sobą wzorem

 

gdzie   dla   tzn. dla dowolnego   zachodzi

 

Jeśli   to   tzn. dla   jest

 

przy czym   W ten sposób grupy   i   działające na   są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy pewien automorfizm   wyznacza sprzężenie   oraz   (por. działanie grupy na sobie).

Podobieństwo jest relacją mocniejszą od izomorfizmu, czego przykładem mogą być grupy

  oraz  

które są izomorficzne jako grupy abstrakcyjne (generują grupę czwórkową Kleina), lecz nie są podobne jako grupy permutacji.

Jeśli   to można przyjąć, że   tzn.   co upraszcza powyższą definicję: jeżeli istnieje bijekcja   taka, że

  dla wszystkich   oraz  

to zbiory   oraz   nazywa się  -izomorficznymi.

ZastosowaniaEdytuj

Reprezentacja grupyEdytuj

Osobny artykuł: reprezentacja grupy.

Macierz   kwadratowa stopnia   nad ciałem   wyznacza przekształcenie liniowe przestrzeni liniowej   w siebie. Pełną grupę liniową   można traktować zatem jako grupę przekształceń zbioru   Każdy homomorfizm   wyznacza działanie grupy   na przestrzeni   Działania te nazywa się reprezentacjami grupy   w przestrzeni   Jeśli   jest różnowartościowy, to reprezentację nazywa się wierną.

Działania grupy na sobieEdytuj

Działanie dowolnej grupy   na sobie przez mnożenie z lewej strony jest regularne, a więc i wierne. Każda grupa może być więc zanurzona w grupie symetrycznej własnych elementów   Jest to wynik znany jako twierdzenie Cayleya.

Innym ważnym działaniem grupy na sobie, bardzo pomocnym podczas badania jej struktury, jest działanie poprzez tzw. automorfizmy wewnętrzne (sprzężenia), określone wzorem

 

Automorfizm   zapisywany jest też często jako   gdyż zachowuje się on, zgodnie ze swoim oznaczeniem, tak jak potęga.

Orbitami tego działania są zbiory   nazywane klasami sprzężoności (klasami elementów sprzężonych), natomiast stabilizator   nazywa się centralizatorem elementu   i oznacza   lub krótko:   są to wszystkie elementy grupy   przemienne z elementem   Stabilizator   całego zbioru nazywa się centrum grupy i oznacza się symbolem   są to te elementy, które są przemienne z dowolnym elementem grupy.

Równanie klasEdytuj

Niech   będzie grupą skończoną działającą na zbiorze skończonym   a   będą reprezentantami wszystkich orbit w zbiorze   Ponieważ zbiór   rozpada się na rozłączne orbity:

 

to prawdą jest, iż moc zbioru   jest równa sumie mocy poszczególnych orbit, czyli sumie indeksów stabilizatorów w grupie (zob. wniosek):

 

Równanie to nazywa się często równaniem klas, można je wyprowadzić wprost z twierdzenia o stabilizatorach i orbitach. Równanie klas jest narzędziem dowodzenia wielu twierdzeń w teorii grup skończonych. Można je wykorzystać także w dowodzie twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Sylowa (zob. zastosowania równania dla klas sprzężoności).

UwagiEdytuj

  1. Dowolne działanie grupy   na przestrzeni liniowej (czyli homomorfizm   w pełną grupę liniową) nazywa się reprezentacją tej grupy; przykładem może być grupa macierzy odwracalnych (działająca na  ). Grupa permutacji   również działa na   Przekształcenie   nazywane jest reprezentacją permutacyjną skojarzoną z danym działaniem, ponieważ   może wtedy pełnić rolę bazy przestrzeni liniowej:   są wówczas macierzami permutacji (pojedyncza 1 w każdym wierszu i każdej kolumnie).

PrzypisyEdytuj

  1. Галуа Эварист: Сочинения (tłum. z franc.). Москва-Ленинград: 1936, s. 49–98.

BibliografiaEdytuj