Dzielenie przez zero

Dzielenie przez zerodzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu liczbowego, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

Prostym przykładem błędu wynikłego z dzielenia przez zero jest następujący: niech i wówczas skoro to również oraz a ze wzoru na różnicę kwadratów jest Dzieląc stronami przez uzyskuje się

co jest równoważne a więc skąd Otrzymana sprzeczność wynika z zastosowania dzielenia przez

WyjaśnienieEdytuj

W grupie abelowej   z działaniem ’ każde równanie postaci

 

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tym samym w grupie   zdefiniowana jest funkcja, która każdej parze elementów   przypisuje dokładne jeden element oznaczany   Jest to więc działanie odwrotne względem ‘ ’ nazywane dzieleniem (w terminologii addytywnej – odejmowaniem).

Jeśli grupa   jest grupą multiplikatywną pewnego ciała   to tym samym zdefiniowane jest dzielenie w zbiorze elementów niezerowych ciała  

Próba rozszerzenia dziedziny tego działania na wszystkie elementy ciała prowadzi do prób rozwiązania następujących równań:

  •  
    Ma ono dokładnie jedno rozwiązanie   Jeśli zamiast ciała mamy pierścień z dzielnikami zera i b jest takim niezerowym dzielnikiem zera, to rozwiązaniem tego równania jest pewien niezerowy dzielnik zera, czyli rozwiązań jest więcej niż jedno.
  •  
    Równanie to jest sprzeczne, bo w dowolnym ciele (ogólniej – w dowolnym pierścieniu) zachodzi   dla każdego  
  •  
    Równanie to jest nieoznaczone, tzn. jest spełnione dla każdego elementu ciała (ogólniej – każdego elementu pierścienia).

W efekcie w każdym ciele jedynie wyrażenie postaci   dla   ma dokładnie jedną, konkretną wartość, w szczególności   dla dowolnego   Dołączenie warunku     do definicji dzielenia nie prowadzi jednak do rozciągnięcia definicji dzielenia na zerowe liczniki, bowiem dziedzina działania dwuargumentowego musi być identyczna dla każdego argumentu.

Natomiast wyrażeniu     nie można przypisać żadnej wartości, a wyrażeniu   odpowiadałaby dowolna wartość. I oba przypadki nie spełniają warunków definicji działania.

OznaczeniaEdytuj

Choć symbol   dla dowolnego   również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów czy granic funkcji. Jeśli   jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest   (w zależności od znaku tej liczby). Symbol   oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji – reguła de l’Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

Zobacz teżEdytuj