Otwórz menu główne

Dzielnik zera – element pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element spełniający

W nietrywialnym pierścieniu, czyli takim, w którym dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości[1]. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.

WłasnościEdytuj

Dowód Niech   będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny   generowany przez   jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny   którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny   Ponieważ   jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności).
Dowód: Gdyby dla elementu   istniały elementy   i   takie, że     to:
 
wbrew założeniu.

PrzykładyEdytuj

  • W pierścieniu   właściwymi dzielnikami zera są   i   bowiem  
  • W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest   bowiem  
  • W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są   i   bowiem  
  • W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa   ponieważ  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 10.