Element absorbujący

Element absorbujący – element zbioru z działaniem dwuargumentowym, którego iloczyn z dowolnym innym elementem zbioru jest tym elementem absorbującym. W teorii półgrup, element absorbujący nazywany jest elementem zerowym[1][2], ponieważ nie istnieje ryzyko pomylenia go z innym pojęciem zera. W tym artykule oba pojęcia są równoznaczne. Element absorbujący może też być nazywany elementem anihilującym.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie zbiorem   z określonym na zbiorze   zamkniętym działaniem dwuargumentowym   (grupoid). Element absorbujący (zerowy) jest to taki element   że dla każdego   należącego do     Wyróżnia się pojęcie[2] zera lewego, gdy wymagane jest jedynie   oraz zera prawego, gdzie wymagane jest tylko  

Elementy absorbujące są szczególnie ciekawe w półgrupach, zwłaszcza w multiplikatywnych półgrupach półpierścienia. W przypadku półpierścienia z 0, definicja elementu absorbującego jest czasem uproszczona tak, że nie jest wymagane by element absorbował 0; wystarcza by 0 było jedynym absorbującym elementem[3].

WłasnościEdytuj

  • Jeśli grupoid ma zarówno lewe, jak i prawe zero, to ma zero, ponieważ  
  • Jeśli grupoid posiada zero, to ma je tylko jedno.

PrzykładyEdytuj

  • Najlepiej znanym przykładem elementu absorbującego w algebrze jest mnożenie, gdzie dowolna liczba pomnożona przez zero jest równa zero. Zero jest więc elementem absorbującym.
  • W arytmetyce zmiennoprzecinkowej, według definicji standardu IEEE-754, istnieje wartość „NaN” (z ang. Not A Number; nieliczba). Jest ona elementem absorbującym każdej operacji; np.: x + NaN = NaN + x = NaN, x – NaN = NaN – x = NaN itd.
  • Zbiór działań dwuargumentowych na zbiorze   razem ze złożeniem relacji tworzy monoid z zerem, gdzie element zerowy jest relacją pustą (zbiorem pustym).
  • Zbiór zamknięty   gdzie   jest również monoidem z zerem, w którym elementem absorbującym jest 0.
  • Więcej przykładów:
Zbiór Operacja Element absorbujący
liczby rzeczywiste   (mnożenie) 0
liczby całkowite największy wspólny dzielnik 1
macierze kwadratowe NxN   (mnożenie) macierz zerowa
Zbiory   (część wspólna)   (zbiór pusty)
Podzbiory zbioru M   (suma)  
Logika Boole’a   (koniunkcja)   (fałsz)
Logika Boole’a   (alternatywa)   (prawda)

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. J.M. Howie, s. 2–3.
  2. a b M. Kilp, U. Knauver, A.V. Mikhalev, s. 14–15.
  3. J.S. Golan, s. 67.

BibliografiaEdytuj

  • John Mackintosh Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford: Clarendon Press, 1995, ISBN 0-19-851194-9, OCLC 32969870.
  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ​ISBN 3-11-015248-7​.
  • Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ​ISBN 0-7923-5786-8​.

Linki zewnętrzneEdytuj