Element objętości

Elementem objętości rozmaitości M w punkcie nazywamy taki k-tensor antysymetryczny że dla każdej bazy przestrzeni zachodzi: gdzie jest objętością równoległościanu rozpiętego na wektorach

Równoważna definicjaEdytuj

Elementem objętości M w punkcie   nazywamy   o tej własności, że   gdzie   jest dodatnio zorientowaną bazą ortonormalną przestrzeni stycznej   (Przykładem takiej bazy jest baza standardowa przestrzeni  )

ProblemEdytuj

Definicje te są równoważne, ale w pierwszej nie widać od razu, czy jest to w ogóle tensor, natomiast trzeba wykazać, że druga definicja nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej (jednoznaczność określenia). Definicje te wzajemnie uzupełniają swoje wady.

ZastosowanieEdytuj

Objętość rozmaitości M określa się jako   o ile ta całka istnieje co zachodzi z pewnością dla rozmaitości zwartej. „Objętość” zazwyczaj nazywa się długością lub polem powierzchni dla odpowiednio jedno- lub dwuwymiarowej rozmaitości, a dM standardowo oznacza się przez ds (element długości) lub przez dA (element pola powierzchni).

BibliografiaEdytuj

  • L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków II, wyd. drugie, Toruń 2000.
  • M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa, 1977.