Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Elipsa otrzymana jako przecięcie stożka płaszczyzną.

Elipsa (gr. ἔλλειψις, elleipsis – „brak, opuszczenie, pominięcie”[1][2], zob. geneza) – przypadek ograniczonej krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Jest to również miejsce geometryczne wszystkich tych punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą.

Elipsy powstają także jako obrazy okręgu lub sfery w rzucie równoległym i pewnych przypadkach rzutu perspektywicznego. W istocie okręgi są przypadkami szczególnymi elips. Elipsa jest również domkniętym i ograniczonym przypadkiem krzywej stopnia drugiego danej wzorem uwikłanym lub krzywej wymiernej drugiego stopnia. Jest to zarazem najprostsza figura Lissajous powstająca, gdy drgania poziome i pionowe mają tę samą częstotliwość.

Spis treści

Podstawowe pojęcia i własnościEdytuj

 
Elipsa

Elipsa to gładka krzywa zamknięta symetryczna względem jej środka. Odległość między punktami antypodycznymi elipsy, czyli parami punktów, których środek odcinka przez nie wyznaczany jest zarazem środkiem symetrii elipsy, jest maksymalna i minimalna wzdłuż dwóch prostopadłych kierunków – osi wielkiej (średnicy transwersalnej) oraz osi małej (średnicy sprzężonej).

Półoś wielka, półoś mała, ogniska, kierowniceEdytuj

Półoś wielka i półoś mała elipsy (oznaczone na rysunku odpowiednio przez   i  ) są połowami odpowiednio osi wielkiej i małej. Na osi wielkiej, po obu stronach jej środka, znajdują się dwa wyróżnione punkty   oraz   takie, że suma odległości dowolnego punktu elipsy od wspomnianych punktów jest stała i równa długości osi wielkiej   Każdy z tych dwóch punktów nazywany jest ogniskiem elipsy. Odległości ognisk od środka elipsy są równe:

 

Jeżeli   jest równe   to ogniska pokrywają się ze środkiem i wówczas elipsa staje się okręgiem o promieniu  

Proste prostopadłe do półosi wielkiej elipsy, odległe od środka elipsy o:

 

są kierownicami elipsy. Dla okręgu   kierownice znajdują się „w nieskończoności”.

MimośródEdytuj

Mimośrodem (ekscentrycznością) elipsy nazywamy parametr   będący wartością opisującą stosunek długości ogniskowej do długości półosi wielkiej.

Mimośród zawiera się w przedziale od 0 do 1. Jest on równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, a więc kiedy elipsa jest okręgiem. Gdy mimośród dąży do 1, elipsa wydłuża się, a współczynnik   dąży do nieskończoności.

Jeżeli elipsa o ogniskach   i   jest dana równaniem analitycznym

 

to

 

Odległość ae od ogniska do środka nazywana jest mimośrodem liniowym (ekscentrycznością liniową) elipsy.

W obliczeniach geodezyjnych i kartograficznych mają zastosowanie następujące oznaczenia[3]:

mimośród    
drugi mimośród      
trzeci mimośród      

Parametry te mają zastosowanie do elipsoidy obrotowej, ale wywodzą się z elipsy południkowej.

SpłaszczenieEdytuj

Podobnie w obliczeniach geodezyjnych i astronomicznych są używane parametry elipsy nazywane spłaszczeniem:

(pierwsze) spłaszczenie   Podstawowe, odwrotność 1/f służy do określenia elipsoidy odniesienia.
drugie spłaszczenie   Rzadziej używane.
trzecie spłaszczenie     Używane w obliczeniach geodezyjnych.

Geneza nazwyEdytuj

Nazwa „elipsa” została zaczerpnięta (według Pappusa z Aleksandrii) przez Apoloniusza z Pergi z wczesnej pitagorejskiej terminologii dotyczącej przykładania pól powierzchni: po przyłożeniu prostokąta do odcinka (tj. umieszczeniu podstawy prostokąta wzdłuż odcinka tak, by jeden z końców odcinka i jeden z końców podstawy pokrywały się) przyłożonemu prostokątowi „brakowało” do długości odcinka; równanie elipsy to   gdzie   skąd   a więc kwadrat rzędnej punktu elipsy jest mniejszy niż pole prostokąta o bokach długości równych parametrowi   oraz odciętej. Ślad tej relacji można też zaobserwować w równaniu ogólnym stożkowej,   w którym elipsa charakteryzuje się spełnianiem nierówności  

KreślenieEdytuj

 
Elipsa narysowana za pomocą dwóch szpilek, pętli oraz długopisu.
 
Model elipsografu.

Metoda szpilek i sznurkaEdytuj

Elipsę można nakreślić za pomocą dwóch szpilek (pinezek), kawałka sznurka i rysika (ołówka, długopisu):

Należy wetknąć szpilki w dwa punkty papieru, które staną się ogniskami elipsy, następnie zawiązać sznurek w luźną pętlę wokół szpilek, po czym naciągnąć sznurek za pomocą rysika tak, by powstał trójkąt. Elipsa zostanie nakreślona poprzez przesuwanie rysika po powierzchni kartki przy zachowaniu napięcia sznurka.

Aby nakreślić elipsę wpisaną w dany prostokąt, styczną do jego czterech boków w ich środkach, należy najpierw określić położenie ognisk i długość pętli:

Niech   będą wierzchołkami prostokąta danymi w porządku odwrotnym do wskazówek zegara, gdzie   jest jednym z dłuższych boków. Należy nakreślić okrąg o środku w   i promieniu równym długości krótszego boku   a następnie wyznaczyć styczną do okręgu przechodzącą przez   Długość   odcinka od   do punktu styczności jest odległością między ogniskami. Należy następnie nakreślić dwie proste prostopadłe przez środek prostokąta równoległe do jego boków; będą to osie wielka i mała elipsy. Ogniska rozmieszczone są symetrycznie na osi wielkiej w odległości   od środka.
Aby dostosować długość pętli sznurka należy wetknąć szpilkę w jedno z ognisk, drugą zaś w przeciwny (położony dalej) koniec osi głównej, po czym wykonać ścisłą pętlę wokół dwóch szpilek (tak, by była napięta). Oznacza to, że długość sznurka jest określona wzorem   gdzie   jest długością ogniskowej[a] a   to długość osi wielkiej.

Inne metodyEdytuj

Elipsa może być także nakreślona za pomocą linijki, ekierki oraz rysika:

Należy nakreślić dwie proste prostopadłe   na papierze; będą to osie wielka i mała elipsy. Następnie na linijce należy oznaczyć punkty   Obracając jedną ręką linijkę tak, by punkt   zawsze leżał na prostej   a punkt   na prostej   i kreśląc rysikiem za pomocą drugiej ręki na papierze, śladem punktu   na linijce otrzymuje się elipsę.

Metoda ta może być wykorzystana przy cięciu elips z materiałów drewnianych za pomocą frezarek (ręcznych). Innym przyrządem korzystającym z tej zasady jest elipsograf lub cyrkiel drążkowy: linijka zastąpiona jest prętem z uchwytem na rysik (punkt  ) z jednej strony oraz dwoma przesuwnymi bolcami, które przesuwają się w dwóch prostopadłych prowadnicach wyciętych płycie.

Geometria analitycznaEdytuj

Elipsa w pozycji kanonicznej opisana jest w układzie współrzędnych kartezjańskich   równaniem

 

gdzie   i   są długościami półosi.

Elipsa w postaci parametrycznej dana jest jako

 

gdzie:

 

W układzie współrzędnych biegunowych   elipsę opisuje wzór

 

gdzie   jest mimośrodem.

WłasnościEdytuj

Pole i obwódEdytuj

Pole powierzchni ograniczonej przez elipsę opisuje wzór

 

Obwód elipsy jest dany tzw. całką eliptyczną i nie daje się w ogólnym przypadku zapisać w postaci algebraicznej. Przybliżony wzór na obwód elipsy

 

lepszy

 

jeszcze lepszy

  gdzie  

Dokładny wzór na obwód elipsy wyraża się następująco (  to zupełna całka eliptyczna drugiego rodzaju, a   to mimośród elipsy):

 
Istnieją różne konwencje zapisu funkcji specjalnej   W niektórych argumentem jest nie kwadrat mimośrodu, ale sam mimośród; właściwy wzór pod samym znakiem całki będzie zawierał   w drugiej potędze (nigdy w pierwszej czy czwartej).

Chcąc uzyskać długość łuku elipsy należy skorzystać z niezupełnej całki eliptycznej drugiego rodzaju[4].

 
Rys. 1 – własność stycznej

StycznaEdytuj

Styczna w punkcie P do elipsy o ogniskach   jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta   Jest to równoznaczne z tym, że promień świetlny wychodzący z jednego ogniska elipsy po odbiciu (zgodnie z zasadą, że kąt padania jest równy kątowi odbicia) od krawędzi elipsy przejdzie przez drugie ognisko (kolorowe kąty na rysunku 1 mają równe miary).

 
Dowód własności stycznej
Dowód

Załóżmy, że dwusieczna tego kąta nie jest styczną, czyli przecina elipsę w pewnym punkcie   różnym od  

Niech   będzie odbiciem   w dwusiecznej. Z symetrii wynika, że

  więc  

gdzie   oznacza długość dużej półosi elipsy. Podobnie pokazujemy, że

 

Ponieważ kąt   jest kątem zewnętrznym trójkąta   to punkty   są współliniowe, więc   są niewspółliniowe.

Stąd   Jest to sprzeczne z  

Zakładając nieprawdziwość tezy, doszliśmy do sprzeczności, zatem teza została udowodniona.

 
Rys. 2 – własność dwóch stycznych

Dwie styczneEdytuj

Gdy z punktu   leżącego na zewnątrz elipsy poprowadzimy dwie proste, styczne do elipsy w punktach   i   to

 
 

(kąty o tych samych kolorach na rysunku 2 mają równe miary).

Dowód pierwszej równości
 
Dowód własności dwóch stycznych

Odbijamy elipsę w obu stycznych. Ogniska obrazów oznaczamy odpowiednio przez  

Pamiętając własność stycznej udowodnioną powyżej, łatwo otrzymujemy, że   (  – duża półoś). Oprócz tego,   bo są obrazami tego samego odcinka.

Zatem  

więc  

oraz  

 
  gdzie   – odbicie   w  

Lewe części tych równości są równe, oraz,   stąd  

czyli  

Ponieważ  

to  

Więc mamy   a stąd wynika równość   którą trzeba było udowodnić.

 
Rys. 3 – trójkąt opisany

Trójkąt opisanyEdytuj

Gdy punkty   leżące wewnątrz trójkąta ABC spełniają

 
 

to istnieje elipsa o ogniskach   wpisana w trójkąt, czyli styczna do jego trzech boków (rys. 3). Wtedy zachodzi również   Szczególnym przypadkiem takiej elipsy jest elipsa o ogniskach w ortocentrum i środku okręgu opisanego na trójkącie.

Dowód

Możemy tak dobrać dużą półoś elipsy, żeby była styczna do   Z twierdzenia odwrotnego do powyższej własności o dwóch stycznych (które jest oczywistą konsekwencją tej własności) mamy, że jest ona styczna do pozostałych boków trójkąta, bo zachodzą równości odpowiednich kątów. Korzystając ponownie z własności stycznych, otrzymujemy równość  

Dokonując rachunku na kątach, otrzymujemy powyższe równości dla ortocentrum i środka okręgu opisanego, z czego wynika, że istnieje elipsa wpisana w trójkąt o takich ogniskach.

 
Rys. 4 – okrąg opisany

Okrąg opisanyEdytuj

Niech   będzie rzutem prostokątnym ogniska elipsy na styczną do niej. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów   jest okrąg o środku w środku odcinka łączącego ogniska i o promieniu równym dużej półosi elipsy (czerwony okrąg na rys. 4).

Dowód
 
Dowód twierdzenia o okręgu opisanym

Poprowadźmy dwie równoległe styczne do elipsy w punktach   Są one symetryczne względem środka   elipsy, więc   jest równoległobokiem.

Niech   będą rzutami prostokątnymi ognisk   na styczną w   zaś   na styczną w   Odbijamy   w prostej   otrzymując punkt  

Punkty   są symetryczne względem   więc  

Stąd   jest równoległobokiem, czyli  

Ale  

Więc   gdzie   – duża półoś (korzystamy z równości wynikających z istnienia odpowiednich równoległoboków).

  jest średnicą okręgu opisanego na prostokącie ABCD, którego środkiem jest   więc   co należało pokazać.

UogólnieniaEdytuj

Elipsa jest szczególnym przypadkiem superelipsy. Odpowiednikiem elipsy w przestrzeni trójwymiarowej jest elipsoida.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Tak nazywa się czasem odległość między ogniskami.

PrzypisyEdytuj

  1. Władysław Kopaliński: elipsa; elipsoida; eliptyczny. W: Słownik wyrazów obcych i zwrotów obcojęzycznych [on-line]. [dostęp 2018-07-16].
  2. Henry George Liddell, Robert Scott: ἔλλειψις (ang.). W: A Greek-English Lexicon [on-line]. [dostęp 2018-07-16].
  3. dr inż. Paweł Pędzich: Kartografia matematyczna. Zakład Kartografii Politechniki Warszawskiej. [dostęp 2014-03-06].
  4. Dokładniejsze informacje można znaleźć na stronie Wolfram MathWorld o elipsie.

Linki zewnętrzneEdytuj