Elipsa

typ krzywej definiowany na kilka równoważnych sposobów, zaliczany do krzywych stożkowych
(Przekierowano z Elipsa (matematyka))

Elipsa (gr. ἔλλειψις, elleipsis – „brak, opuszczenie, pominięcie”[1][2], zob. geneza) – przypadek ograniczonej krzywej stożkowej, czyli krzywej będącej częścią wspólną powierzchni stożkowej oraz przecinającej ją płaszczyzny. Elipsę można zdefiniować także jako miejsce geometryczne tych wszystkich punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów jest stałą[3].

Elipsa (czerwona) Elipsa otrzymana jako przecięcie stożka płaszczyzną.

Elipsy powstają jako obrazy okręgu lub sfery w rzucie równoległym i pewnych przypadkach rzutu perspektywicznego. Okręgi są szczególnymi przypadkami elips. Elipsa jest domkniętym i ograniczonym przypadkiem krzywej stopnia drugiego danej wzorem uwikłanym lub krzywej wymiernej drugiego stopnia. Jest najprostszą figurą Lissajous powstającą, gdy drgania poziome i pionowe mają tę samą częstotliwość.

Elipsa jest krzywą gładką, zamkniętą, symetryczną względem jej środka.

Podstawowe pojęcia i własności

edytuj

Oś wielka i oś mała

edytuj

Odległość między punktami antypodycznymi elipsy, czyli parami punktów, których środek odcinka wyznaczany przez te punkty jest zarazem środkiem symetrii elipsy, jest maksymalna i minimalna wzdłuż dwóch prostopadłych kierunków – osi wielkiej (średnicy transwersalnej) oraz osi małej (średnicy sprzężonej).

 
Elipsa

Półoś wielka, półoś mała

edytuj

Niech   i   oznaczają półoś wielką oraz półoś małą elipsy, tj. połowy odpowiednio osi wielkiej i małej.

Ogniska

edytuj

Ogniskami elipsy   oraz   nazywamy punkty na osi wielkiej, takie że suma odległości dowolnego punktu elipsy od tych punktów jest stała, równa długości osi wielkiej  

Półogniskowa, ogniskowa

edytuj

Półogniskową   nazywamy odległości ognisk od środka elipsy:

 

Jeżeli   jest równe   to ogniska pokrywają się ze środkiem i wówczas elipsa staje się okręgiem o promieniu  

Ogniskową elipsy nazywa się odległość ognisk od siebie; jest ona równa 2c.

Kierownice

edytuj

Kierownice elipsy to proste prostopadłe do półosi wielkiej elipsy; są odległe od środka elipsy o

 

Dla okręgu   kierownice znajdują się „w nieskończoności”.

Mimośród

edytuj

Mimośrodem elipsy (ekscentrycznością elipsy) nazywa się liczbę   równą ilorazowi długości półogniskowej   do długości półosi wielkiej   tj.

 

Mimośród zawiera się w przedziale od 0 do 1. Jest on równy zeru, gdy   tj. gdy elipsa redukuje się do okręgu. Gdy elipsa wydłuża się, to współczynnik   dąży do nieskończoności; wtedy mimośród dąży do 1.

Odległość   od ogniska do środka nazywana jest mimośrodem liniowym (ekscentrycznością liniową) elipsy.

W obliczeniach geodezyjnych i kartograficznych mają zastosowanie następujące oznaczenia[4]:

mimośród    
drugi mimośród      
trzeci mimośród      

Parametry te mają zastosowanie do elipsoidy obrotowej, ale wywodzą się z elipsy południkowej.

Spłaszczenie

edytuj

Podobnie w obliczeniach geodezyjnych i astronomicznych są używane parametry elipsy nazywane spłaszczeniem:

(pierwsze) spłaszczenie   Podstawowe, odwrotność 1/f służy do określenia elipsoidy odniesienia.
drugie spłaszczenie   Rzadziej używane.
trzecie spłaszczenie     Używane w obliczeniach geodezyjnych.

Geneza nazwy

edytuj

Nazwa „elipsa” została zaczerpnięta (według Pappusa z Aleksandrii) przez Apoloniusza z Pergi z wczesnej pitagorejskiej terminologii dotyczącej przykładania pól powierzchni: po przyłożeniu prostokąta do odcinka (tj. umieszczeniu podstawy prostokąta wzdłuż odcinka tak, by jeden z końców odcinka i jeden z końców podstawy pokrywały się) przyłożonemu prostokątowi „brakowało” do długości odcinka; równanie elipsy to   gdzie   skąd   a więc kwadrat rzędnej punktu elipsy jest mniejszy niż pole prostokąta o bokach długości równych parametrowi   oraz odciętej.

Ślad tej relacji można też zaobserwować w równaniu ogólnym krzywej stożkowej:

 

gdzie   – parametry krzywej.

Dla elipsy spełniona jest nierówność  

Kreślenie elipsy

edytuj
 
Elipsa narysowana za pomocą dwóch szpilek, pętli oraz długopisu
 
Model elipsografu

Metoda szpilek i sznurka

edytuj

Elipsę można nakreślić za pomocą dwóch szpilek (pinezek), kawałka sznurka i rysika (ołówka, długopisu):

Należy wetknąć szpilki w dwa punkty papieru, które staną się ogniskami elipsy, następnie zawiązać sznurek w luźną pętlę wokół szpilek, po czym naciągnąć sznurek za pomocą rysika tak, by powstał trójkąt. Elipsa zostanie nakreślona poprzez przesuwanie rysika po powierzchni kartki przy zachowaniu napięcia sznurka.

Aby nakreślić elipsę wpisaną w dany prostokąt, styczną do jego czterech boków w ich środkach, należy najpierw określić położenie ognisk i długość pętli:

Niech   będą wierzchołkami prostokąta danymi w porządku odwrotnym do wskazówek zegara, gdzie   jest jednym z dłuższych boków. Należy nakreślić okrąg o środku w   i promieniu równym długości krótszego boku   a następnie wyznaczyć styczną do okręgu przechodzącą przez   Długość   odcinka od   do punktu styczności jest odległością między ogniskami. Należy następnie nakreślić dwie proste prostopadłe przez środek prostokąta równoległe do jego boków; będą to osie wielka i mała elipsy. Ogniska rozmieszczone są symetrycznie na osi wielkiej w odległości   od środka.
Aby dostosować długość pętli sznurka należy wetknąć szpilkę w jedno z ognisk, drugą zaś w przeciwny (położony dalej) koniec osi głównej, po czym wykonać ścisłą pętlę wokół dwóch szpilek (tak, by była napięta). Oznacza to, że długość sznurka jest określona wzorem   gdzie   jest długością ogniskowej[a], a   to długość osi wielkiej.

Metoda cyrkla i linijki

edytuj

Elipsa może być także nakreślona za pomocą linijki, ekierki oraz rysika:

Należy nakreślić dwie proste prostopadłe   na papierze; będą to osie wielka i mała elipsy. Następnie na linijce należy oznaczyć punkty   Obracając jedną ręką linijkę tak, by punkt   zawsze leżał na prostej   a punkt   na prostej   i kreśląc rysikiem za pomocą drugiej ręki na papierze, śladem punktu   na linijce otrzymuje się elipsę.

Metoda ta może być wykorzystana przy cięciu elips z materiałów drewnianych za pomocą frezarek (ręcznych). Innymi przyrządami korzystającymi z tej zasady są elipsograf i cyrkiel drążkowy: linijka zastąpiona jest prętem z uchwytem na rysik (punkt  ) z jednej strony oraz dwoma przesuwnymi bolcami, które przesuwają się w dwóch prostopadłych prowadnicach wyciętych w płycie.

Równania analityczne elipsy

edytuj

(1) W układzie współrzędnych kartezjańskim   elipsa mająca środek w początku układu współrzędnych, o osi wielkiej skierowanej wzdłuż osi   dana jest równaniem analitycznym

 

gdzie   i   są długościami półosi;  

Wtedy ogniska mają współrzędne   i  

(2) W układzie współrzędnych biegunowych   elipsę opisuje wzór

 

gdzie   jest mimośrodem.

(3) Elipsa dana jest też układem równań parametrycznych

 

gdzie   – parametr.

Postać parametryczna jest wygodna do a) kreślenia numerycznego elipsy b) obliczeń numerycznych, np. łuku elipsy.

Uwaga: Parametr   nie ma sensu kąta   nachylenia promienia wodzącego punktów elipsy do osi   jak to ma miejsce w równaniach parametrycznych okręgu. Jest to istotne przy obliczeniach łuku elipsy (patrz niżej); zachodzi jednak związek:

 

Własności

edytuj

Pole elipsy

edytuj

Pole powierzchni ograniczonej przez elipsę opisuje prosty wzór:

 

Obwód elipsy

edytuj

– nie daje się w ogólnym przypadku zapisać w postaci algebraicznej.

(1) Wzory przybliżone na obwód elipsy

 

lepsze przybliżenie

 

jeszcze lepsze przybliżenie

 

gdzie  

2) Dokładny wzór na obwód elipsy wyraża się tzw. całką eliptyczną zupełną   drugiego rodzaju

 
gdzie   – mimośród,   – półoś wielka elipsy.

Np. dla   oraz   mimośród wynosi   co daje w przybliżeniu obwód elipsy równy  

Uwagi:
(1) Całki eliptyczne są stablicowane; są kalkulatory online całek eliptycznych.
(2) Istnieją różne konwencje zapisu funkcji   w niektórych argumentem jest kwadrat mimośrodu, nie sam mimośród; właściwy wzór pod znakiem całki wyrażonej przez mimośród   będzie zawierał   w drugiej potędze (nigdy w pierwszej czy czwartej).

Długość łuku elipsy

edytuj

Długość łuku elipsy oblicza się za pomocą całki eliptycznej niezupełnej drugiego rodzaju[5] („niezupełność” całki oznacza, że liczy się nie cały obwód, ale łuk w zadanym zakresie kątów.)

(a) Łuk elipsy o półosiach   ograniczony kątami   mierzonymi od osi   do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez różnicę całek eliptycznych niezupełnych 2 rodzaju wzorem

 

gdzie:     – mimośród elipsy.

(wartości parametrów   którym odpowiadają katy   ograniczające łuk elipsy, wynikają z równań parametrycznych elipsy)

(b) Łuk elipsy o półosiach   ograniczony kątami   mierzonymi od osi   do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez całkę eliptyczną niezupełną 2 rodzaju wzorem

 

gdzie  

 
Rys. 1 – własność stycznej

Styczna

edytuj

Styczna w punkcie   do elipsy o ogniskach   jest dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta   Jest to równoznaczne z tym, że promień świetlny wychodzący z jednego ogniska elipsy po odbiciu (zgodnie z zasadą, że kąt padania jest równy kątowi odbicia) od krawędzi elipsy przejdzie przez drugie ognisko (kolorowe kąty na rysunku 1 mają równe miary).

 
Dowód własności stycznej
Dowód:

Załóżmy, że dwusieczna tego kąta nie jest styczną, czyli przecina elipsę w pewnym punkcie   różnym od  

Niech   będzie odbiciem   w dwusiecznej. Z symetrii wynika, że

  więc  

gdzie   oznacza długość dużej półosi elipsy. Podobnie pokazujemy, że

 

Ponieważ kąt   jest kątem zewnętrznym trójkąta   to punkty   są współliniowe, więc   są niewspółliniowe.

Stąd   Jest to sprzeczne z  

Zakładając nieprawdziwość tezy, doszliśmy do sprzeczności, zatem teza została udowodniona.

 
Rys. 2 – własność dwóch stycznych

Dwie styczne

edytuj

Gdy z punktu   leżącego na zewnątrz elipsy poprowadzimy dwie proste, styczne do elipsy w punktach   i   to

 
 

(kąty o tych samych kolorach na rysunku 2 mają równe miary).

Dowód pierwszej równości:
 
Dowód własności dwóch stycznych

Odbijamy elipsę w obu stycznych. Ogniska obrazów oznaczamy odpowiednio przez  

Pamiętając własność stycznej udowodnioną powyżej, łatwo otrzymujemy, że   (  – duża półoś). Oprócz tego,   bo są obrazami tego samego odcinka.

Zatem  

więc  

oraz  

 
  gdzie   – odbicie   w  

Lewe części tych równości są równe, oraz,   stąd  

czyli  

Ponieważ  

to  

Więc mamy   a stąd wynika równość   którą trzeba było udowodnić.

 
Rys. 3 – trójkąt opisany

Trójkąt opisany

edytuj

Gdy punkty   leżące wewnątrz trójkąta   spełniają

 
 

to istnieje elipsa o ogniskach   wpisana w trójkąt, czyli styczna do jego trzech boków (rys. 3). Wtedy zachodzi również   Szczególnym przypadkiem takiej elipsy jest elipsa o ogniskach w ortocentrum i środku okręgu opisanego na trójkącie.

Dowód:

Możemy tak dobrać dużą półoś elipsy, żeby była styczna do   Z twierdzenia odwrotnego do powyższej własności o dwóch stycznych (które jest oczywistą konsekwencją tej własności) otrzymujemy, że jest ona styczna do pozostałych boków trójkąta, bo zachodzą równości odpowiednich kątów. Korzystając ponownie z własności stycznych, otrzymujemy równość  

Dokonując rachunku na kątach, otrzymujemy powyższe równości dla ortocentrum i środka okręgu opisanego, z czego wynika, że istnieje elipsa wpisana w trójkąt o takich ogniskach.

 
Rys. 4 – okrąg opisany

Okrąg opisany

edytuj

Niech   będzie rzutem prostokątnym ogniska elipsy na styczną do niej. Miejscem geometrycznym wszystkich punktów   jest okrąg o środku w środku odcinka łączącego ogniska i o promieniu równym dużej półosi elipsy (czerwony okrąg na rys. 4).

Dowód:
 
Dowód twierdzenia o okręgu opisanym

Poprowadźmy dwie równoległe styczne do elipsy w punktach   Są one symetryczne względem środka   elipsy, więc   jest równoległobokiem.

Niech   będą rzutami prostokątnymi ognisk   na styczną w   zaś   na styczną w   Odbijamy   w prostej   otrzymując punkt  

Punkty   są symetryczne względem   więc  

Stąd   jest równoległobokiem, czyli  

Ale  

Więc   gdzie   – duża półoś (korzystamy z równości wynikających z istnienia odpowiednich równoległoboków).

  jest średnicą okręgu opisanego na prostokącie   którego środkiem jest   więc   co należało pokazać.

Definicja elipsy za pomocą ustalonego punktu, prostej i mimośrodu

edytuj

Niech będą ustalone na płaszczyźnie: punkt   prosta   oraz liczba rzeczywista  

Elipsa jest zbiorem punktów płaszczyzny, dla których stosunek odległości od punktu   do odległości tych punktów od prostej   jest stały i równy   takie że   punkt   jest wtedy jednym z ognisk elipsy, prosta   jej kierownicą, a liczba   mimośrodem. Analogicznie dla mimośrodu równego 1 otrzymamy parabolę, dla mimośrodu większego niż 1 otrzymamy hiperbolę.

Uogólnienia

edytuj

Elipsa jest szczególnym przypadkiem superelipsy. Odpowiednikiem elipsy w przestrzeni trójwymiarowej jest elipsoida.

Zobacz też

edytuj
  1. Tak nazywa się czasem odległość między ogniskami.

Przypisy

edytuj
  1. Władysław Kopaliński: elipsa; elipsoida; eliptyczny. [w:] Słownik wyrazów obcych i zwrotów obcojęzycznych [on-line]. [dostęp 2018-07-16]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-07-02)].
  2. Henry George Liddell, Robert Scott: ἔλλειψις. [w:] A Greek-English Lexicon [on-line]. [dostęp 2018-07-16]. (ang.).
  3. Elipsa, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-30].
  4. dr inż. Paweł Pędzich: Kartografia matematyczna. Zakład Kartografii Politechniki Warszawskiej. [dostęp 2014-03-06]. [zarchiwizowane z tego adresu (2014-03-07)].
  5. Dokładniejsze informacje można znaleźć na stronie Wolfram MathWorld o elipsie.

Linki zewnętrzne

edytuj