Energia sprężystości

Energia sprężystości (sprężysta) – energia nagromadzona w materiale w wyniku jego odkształceń. Jest funkcją tych odkształceń, choć może być wyrażana w zależności od naprężeń, właściwości materiału, przyłożonych sił. Zależności energii sprężystości od wyżej wspomnianych czynników w wielu metodach analiz wytrzymałościowych pozwalają rozwiązywać skomplikowane układy; są często wykorzystywane w metodach numerycznych.

Proste przypadkiEdytuj

  • Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ściskania:
 
gdzie:
  – siła ściskająca,
 moduł Younga,
  – pole ściskanego przekroju.
  • Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku ścinania:
 
gdzie:
  – siła ścinająca,
 moduł Kirchhoffa,
  – pole ściskanego przekroju,
 współczynnik kształtu.
  • Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku zginania:
 
gdzie:
 moment gnący,
 moduł Younga,
 moment bezwładności przekroju.
  • Energia sprężystości dla materiału linowo-sprężystego w przypadku skręcania:
 
gdzie:
 moment skręcający,
 moduł Kirchhoffa,
 biegunowy moment bezwładności przekroju.

Wszystkie wzory odnoszą się do jednostki długości pręta  

Energia właściwaEdytuj

Energia sprężysta   nagromadzona w jednostce objętości pręta rozciąganego nazywana jest sprężystą energią właściwą lub gęstością energii[1]. Wyraża się ona wzorem

 

W przypadku złożonego stanu naprężenia możemy, posługując się zasadą superpozycji (sumowania skutków działających naprężeń) i rozważając układ w lokalnym układzie osi głównych (dzięki czemu stan naprężenia opisany jest tylko naprężeniami głównymi), całkowitą energię właściwą układu można przedstawić w postaci[2]

(a) 

gdzie   są odpowiednio  -tym naprężeniem i  -tym odkształceniem głównym.

W tym złożonym stanie naprężeń, dylatacja, czyli względna zmiana objętości   prostopadłościanu o bokach   wyraża się wzorem

(b) 

gdzie:

 

Z prawa Hooke’a dla trójwymiarowego stanu naprężenia wynikają wzory[2]

(c1) 
(c2) 
(c3) 

których podstawienie do (a) prowadzi do wyniku

(d) 

gdzie   jest liczbą Poissona.

Podstawienie wzorów (c) do (b) prowadzi do wzoru

(e) 

z którego wynika, że zmiana objętości   nie zależy od wartości poszczególnych naprężeń głównych tylko od ich sumy.

Jeżeli wprowadzimy oznaczenie[2]

 

to zamiast (e) otrzymamy

 

gdzie:

 

jest modułem odkształcenia objętościowego[2].

Naprężeniu   odpowiada odkształcenie

 

Energia właściwa   odkształcenia objętościowego wyraża się wzorem

 

lub

 

Całkowita energia właściwa układu   jest sumą dwu składników:   przy czym   jest energią właściwą odkształcenia objętościowego, a   – energią właściwą odkształcenia postaciowego.

Energię właściwą odkształcenia postaciowego   otrzymamy zatem ze wzoru

 

Dla prostego rozciągania tzn. gdy,   mamy

 

Prostota otrzymanych wzorów wynika z faktu[2], że stany naprężenia i odkształcenia zostały opisane w lokalnym układzie osi głównych, to znaczy skierowanych zgodnie z kierunkami naprężeń głównych. W dowolnym układzie osi wzory te się komplikują i można je znaleźć w pracach[1][3].

Twierdzenia o energii sprężystejEdytuj

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985.
  2. a b c d e N.M. Bielajew, Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwo MON, Warszawa 1954.
  3. S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980.