Otwórz menu główne

Filtrrodzina w jakimś sensie dużych zbiorów. Duży zbiór powinien spełniać następujące własności:

  • zbiór większy od dużego zbioru powinien być duży,
  • zbiór pusty nie powinien być duży, ale cała przestrzeń (uniwersum) powinna być duża,
  • część wspólna dwóch dużych zbiorów powinna być duża.

Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów dużych) jest właśnie filtrem zbiorów, patrz poniżej[1].

W topologii filtr jest wiązany z rodziną otoczeń punktu. I znowu spełnione są trzy wyżej wspomniane własności[1]:

  • zbiór zawierający otoczenie punktu jest także otoczeniem tego punktu,
  • zbiór pusty nie jest otoczeniem punktu, ale cała przestrzeń topologiczna jest nim,
  • część wspólna dwóch otoczeń punktu jest jego otoczeniem.

Spis treści

Definicje formalneEdytuj

Filtry w porządkachEdytuj

Niech   będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór   jest filtrem w zbiorze uporządkowanym   jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)  
(ii) jeśli     oraz   to również  
(iii) jeśli   to można znaleźć   taki że   oraz  

Filtr   jest właściwy jeśli   Jeśli   to filtr jest niewłaściwy.

Jeśli porządek   jest półkratą dolną (dla każdych   istnieje kres dolny  ), to warunki (ii)+(iii) są równoważne z warunkiem

(iv) dla każdych     wtedy i tylko wtedy, gdy (  i  ).

Filtr w algebrach Boole’aEdytuj

Ponieważ algebra Boole’a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja filtru na porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole’a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole’owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję filtru trochę inaczej.

Niech   będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że zbiór   jest filtrem w algebrze Boole’a   jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)  
(ii) jeśli     (tzn.  ) oraz   to również  
(iii) jeśli   to  

Filtr   jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv)  

Należy podkreślić, że powyższa definicja i ta przeniesiona z porządków częściowych są równoważne.

Filtr podzbiorów danego zbioruEdytuj

Osobny artykuł: Filtr (teoria zbiorów).

Szczególnym przypadkiem algebry Boole’a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru   (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja filtru w algebrze Boole’a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru   Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że filtr to rodzina dużych podzbiorów  .

Niech   będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina   podzbiorów zbioru   jest filtrem podzbiorów zbioru   jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) jeśli   i   to również  
(ii) jeśli   to  
(iii)  [1].

Mówimy, że filtr   podzbiorów liczby kardynalnej   jest jednorodny, gdy   tzn. filtr   nie zawiera podzbiorów zbioru   mocy mniejszej niż  

Charakterem filtru   nazywamy liczbę

 

Filtr maksymalnyEdytuj

Filtr właściwy   w porządku częściowym   jest filtrem maksymalnym jeśli jedynym filtrem właściwym zawierającym   jest samo  

Filtry maksymalne są też często nazywane ultrafiltrami, szczególnie w odniesieniu do filtrów w algebrach Boole’a i filtrów podzbiorów danego zbioru.

Filtr pierwszyEdytuj

Filtr właściwy   w górnej półkracie   jest filtrem pierwszym jeśli następujący warunek jest spełniony:

  • dla każdych     (  albo  ).

Innymi słowy, filtr   jest filtrem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy zbior   jest ideałem.

Jeśli   jest porządkiem liniowym, to każdy filtr jest filtrem pierwszym. Jeśli   jest kratą rozdzielną, to każdy filtr maksymalny jest filtrem pierwszym.

Jeśli   jest właściwym filtrem w algebrze Boole’a   następujące warunki są równoważne:

  •   jest filtrem maksymalnym,
  •   jest filtrem pierwszym,
  • dla każdego   w algebrze    

PrzykładyEdytuj

Filtry w algebrach Boole’aEdytuj

  • Rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka   które mają miarę Lebesgue’a równą 1 jest filtrem w algebrze borelowskich podzbiorów odcinka.

Filtry podzbiorów danego zbioruEdytuj

  • Niech   będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina   tych podzbiorów   które mają dopełnienie skończone jest filtrem podzbiorów   Jest on często nazywany filtrem Frécheta[1].
  • Rodzina tych podzbiorów odcinka   które mają miarę Lebesgue’a 1 jest filtrem podzbiorów  
  • Jeśli   jest rodziną podzbiorów zbioru   z własnością skończonych przekrojów, to zbiór
  dla pewnych    
jest filtrem podzbiorów  
  • Niech   Wówczas   jest filtrem podzbiorów  [1]. Filtry tej postaci są nazywane filtrami głównymi.
  • Rodzina wszystkich otoczeń pewnego punktu w przestrzeni topologicznej jest filtrem.
  • Niech   będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną. Rozważmy rodzinę   domkniętych nieograniczonych podzbiorów   jest ona zamknięta na przekroje mocy mniejszej niż   Zatem   jest filtrem (właściwym) podzbiorów  

Własności i zastosowaniaEdytuj

  • Każdy właściwy filtr w algebrze Boole’a jest zawarty w pewnym filtrze maksymalnym (ultrafiltrze). (To twierdzenie, udowodnione przez Tarskiego, wymaga pewnej formy AC.)
  • Twierdzenie Stone’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów swojej przestrzeni ultrafiltrów.
  • Jeśli   jest filtrem w algebrze Boole’a   to   jest ideałem tej algebry.
  • Filtry w częściowych porządkach są używane w teorii forsingu. Są one również kluczowe w sformułowaniach aksjomatów takich jak Aksjomat Martina.
  • Ultrafiltry są używane w teorii modeli przy tworzeniu ultraproduktów modeli i jako takie mają duże znaczenie w tej dziedzinie matematyki. Okazały się one też być bardzo ważnymi w topologii, gdzie są używane do opisu uzwarceń przestrzeni topologicznych. W tym ostatnim kontekście ultrafiltry na zbiorze liczb naturalnych były intensywnie badane w drugiej połowie XX wieku jako elementy uzwarcenia Čecha-Stone’a   zbioru liczb naturalnych  
  • Zupełne ultrafiltry są podstawą w rozważaniach dużych liczb kardynalnych. Filtr   podzbiorów zbioru   jest  -zupełny jeśli przekrój mniej niż   zbiorów z   należy do   Liczba kardynalna   jest mierzalna jeśli istnieje  -zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów   Liczby mierzalne są punktem wyjściowym dla hierarchii dużych liczb kardynalnych.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e Bourbaki: Topologia ogólna. Struktury podstawowe (tłum. ros.). Moskwa: Nauka, 1968, s. 78–92. (ros.)