Otwórz menu główne

Spis treści

Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowyprzekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).

Artykuł traktuje o formach, której argumenty należą do jednej przestrzeni; formy określone na dowolnej ich parze opisano w artykule o parze dualnej.

Definicja formy dwuliniowejEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem  

Przekształcenie   nazywa się formą dwuliniową (funkcjonałem dwuliniowym) na   jeżeli jest:

  • liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu
     
    oraz
     
  • liniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i jednorodne względem drugiej współrzędnej
     
    oraz
     

Rodzaje form dwuliniowychEdytuj

Na formy dwuliniowe nakłada się dodatkowe warunki.

Forma refleksyjnaEdytuj

 

Forma alternacyjnaEdytuj

 

Forma symetrycznaEdytuj

 

Forma antysymetrycznaEdytuj

Forma zwana też formą symplektyczną

 

UwagiEdytuj

(1) Dwuliniowa forma antysymetryczna - to inna nazwa dwuliniowej formy symetrycznej lub alternującej: alternacyjność pociąga antysymetryczność w ciele dowolnej charakterystyki[a].

(2) W przypadku ciała liczb rzeczywistych pojęcia alternacyjności i antysymetryczności pokrywają się, jednak i w tym kontekście nazwa „antysymetryczna” jest nadal używana.

(3) Pojęcia te rozważa się także w modułach nad pierścieniami, gdzie żadne z nich nie musi pociągać pozostałych[b].

TwierdzeniaEdytuj

Tw. 1: Forma dwuliniowa jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna albo alternująca[c].

Tw. 2: W ciele charakterystyki różnej od 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest alternująca, a w ciele charakterystyki 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna[d].

WłasnościEdytuj

W ciele charakterystyki różnej od 2 każdą formę dwuliniową   można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy   formy symetrycznej   i formy alternującej (antysymetrycznej)  [e]; w przypadku ciała charakterystyki 2 alternujące formy dwuliniowe są podzbiorem symetrycznych form dwuliniowych[f] W ciele charakterystyki różnej od 2 symetryczna forma dwuliniowa   wyznaczona jest całkowicie przez wartości   „na przekątnej”[g] – własność tę nazywa się polaryzacją (w szczególności   Oznacza to, że badanie tego rodzaju form dwuliniowych sprowadza się do badania form kwadratowych.

Z formą dwuliniową   można związać dwa przekształcenia liniowe   z przestrzeni   w przestrzeń dualną   dane wzorami

 

oznaczane często odpowiednio   oraz   gdzie kropka oznacza miejsce przyłożenia argumentu dla powstałej formy liniowej (por. currying w rachunku lambda).

Przekształcenie   jest transpozycją (sprzężeniem)   na obrazie   w drugiej przestrzeni dualnej   (i na odwrót). Jeżeli   jest skończeniewymiarowa, to istnieje naturalny izomorfizm między   a jej drugą dualną   dzięki czemu   można uważać za transpozycję   na   W ten sposób dla danej formy dwuliniowej   można zdefiniować jej transpozycję (sprzężenie)   wzorem

 

Rząd   jest równy rzędowi   nazywa się go rzędem formy dwuliniowej   Jeśli rząd tych przekształceń jest pełny (tzn. równy wymiarowi przestrzeni), to   i   są izomorfizmami liniowymi   Wówczas formę dwuliniową   nazywa się niezdegenerowaną lub nieosobliwą (w przeciwnym przypadku nazywa się ją zdegenerowaną lub osobliwą); podobnie nazywa się wtedy samą przestrzeń dwuliniową   Gdy   jest skończeniewymiarowa, na mocy twierdzenia o rzędzie jest to równoważne trywialności jądra   Wówczas   jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich   zachodzi

 

bądź (na mocy kontrapozycji) gdy dla każdego niezerowego wektora   istnieje taki wektor   dla którego   Własność tę przyjmuje się często jako definicję niezdegenerowania w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru[h].

Dla dowolnego przekształcenia   wzór

 

definiuje formę dwuliniową   na przestrzeni   Jest ona niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy   jest izomorfizmem.

Formy dwuliniowe   oraz   określone odpowiednio na   i   nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm   który spełniałby

 

Zapisanie obu form dwuliniowych we współrzędnych oznacza przejście do przestrzeni współrzędnych; powyższa definicja mówi wtedy, że za równoważne uważa się te formy dwuliniowe, dla których istnieje liniowa zamiana zmiennych między ich przedstawieniami (w przypadku form symetrycznych wystarczy zadbać o przejście wartości „na przekątnych”; zob. kolejną sekcję).

Przestrzeń liniową   z formą dwuliniową   tworzy przestrzeń dwuliniową   przestrzeń liniowa z symetryczną formą dwuliniową (tzw. „uogólnionym iloczynem skalarnym”) nazywa się przestrzenią ortogonalną, jeśli jest ona dodatkowo niezdegenerowana, to nazywa się ją przestrzenią unitarną; zaś przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą to przestrzeń symplektyczna. Z kolei dwie przestrzenie liniowe związane (zwykle niezdegenerowaną) formą dwuliniową tworzą parę dwoistą.

Macierz formyEdytuj

W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru   powyższe własności można przetłumaczyć na język macierzy. Ustalenie bazy   w   oznacza wybranie izomorfizmu   odwzorowującego wektor   w wektor współrzędnych   którego współrzędne można zapisać w macierzy jednokolumnowej (tzw. wektorze kolumnowym)   Dzięki temu w zupełnie analogiczny sposób jak ma to miejsce dla przekształceń liniowych i ich macierzy działanie formy dwuliniowej   można zapisać w standardowej notacji macierzowej jako   gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych   Macierz kwadratową

 

stopnia   nazywa się wtedy macierzą formy dwuliniowej (macierzą funkcjonału dwuliniowego)   w bazie   (w przypadku przestrzeni unitarnej jest to odpowiednik macierzy Grama iloczynu skalarnego wyrażonego w tej bazie)[i]. Jest ona macierzą przekształcenia   przy czym wybór ten jest arbitralny: macierz   jest macierzą   przy wyborze działania   Przekształceń   w przeciwieństwie do ich macierzy, nie można składać − podejście tłumaczące wynik złożenia macierzy na przekształcenia, a przy tym niewyróżniające żadnego z nich opisano dalej.

W przestrzeni z ustaloną bazą równoważność przedstawień (macierzy) form dwuliniowych wyraża się następująco: jeśli   są dwiema bazami   to macierze   i   przekształcenia dwuliniowego  przystające, tzn.

 

gdzie   oznacza macierz zamiany współrzędnych   od   do   Ogólniej: macierze   i   są przystające, tzn.

 

dla pewnej macierzy odwracalnej   gdy są macierzami tej samej formy dwuliniowej.

Wprost z definicji wynika, że forma dwuliniowa jest symetryczna bądź antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest macierz symetryczna bądź antysymetryczna. Forma dwuliniowa jest alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest antysymetryczna i wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe zeru (co wynika z antysymetryczności dla ciał o charakterystyce różnej od 2).

Jeśli macierz   formy dwuliniowej   jest nieosobliwa (odwracalna), to samą formę   nazywa się niezdegenerowaną lub także nieosobliwą (podobnie mówi się wtedy o samej przestrzeni  ); w przeciwnym przypadku formę (lub przestrzeń dwuliniową) nazywa się zdegenerowaną lub osobliwą. Rzędem formy dwuliniowej   bądź przestrzeni   nazywa się rząd macierzy   tej formy (jest on dobrze określony, gdyż nie zależy od wyboru bazy ze względu na fakt, iż macierze przystające mają równe rzędy).

PrzykładyEdytuj

  • Przestrzeń trywialna (zerowymiarowa) ma jedną formę dwuliniową, która nie ma macierzy (ma macierz pustą, tzn. typu  ).
  • Jeśli   jest przestrzenią współrzędnych z bazą standardową   to każda forma dwuliniowa   na tej przestrzeni liniowej jest postaci
 
gdzie  
  • Jeśli   jest ustalonym punktem przestrzeni liniowej   form (funkcjonałów) na   to wzór
 
zadaje formę dwuliniową na tej przestrzeni.
  • Jeśli   jest przestrzenią dwuliniową, zaś   jest podprzestrzenią   to zawężenie   do   daje podprzestrzeń dwuliniową   oznaczaną też po prostu   (konstrukcję tę można również przeprowadzić za pomocą przestrzeni ilorazowej); podprzestrzeń dziedziczy własności refleksywności, alternacyjności, symetryczności i antysymetryczności z przestrzeni wyjściowej, lecz niekoniecznie jej niezdegenerowania[j]; jeśli   zaś   jest dodatnio określona (tzn.   dla dowolnego  ), to własność ta zachodzi dla dowolnej niezerowej podprzestrzeni   skąd   jest również dodatnio określona, a zatem niezdegenerowana.
  • Jeżeli   i   są przestrzeniami dwuliniowymi na tym samym ciałem, to suma prosta   wraz z formą dwuliniową   staje się podprzestrzenią dwuliniową; jeśli obie formy   oraz   są jednocześnie symetryczne, alternujące, antysymetryczne bądź refleksywne, to   również ma tę samą własność. Konstrukcję tę nazywa się ortogonalną sumą prostą przestrzeni   oraz  [k]
  • Jeśli   oznacza przestrzeń liniową funkcji ciągłych   to funkcja   dana wzorem
 
definiuje zdegenerowaną formę dwuliniową na tej przestrzeni: nie jest ona surjektywna, gdyż np. forma delta Diraca należy do jej przestrzeni sprzężonej (topologicznie), ale nie ma wymaganej postaci; z drugiej strony forma   spełnia skończeniewymiarową definicję niezdegenerowania.
  • Każdy iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej jest niezdegenerowaną formą dwuliniową, gdyż jego macierz w dowolnej bazie (macierz Grama) jest odwracalna: wyznacznik układu liniowo niezależnego jest różny od zera bądź wynika to wprost z dodatniej określoności iloczynu skalarnego. Z definicji jest on także symetryczny.
  • Niech dla przestrzeni   dobrane będą nieujemne liczby całkowite   spełniające   Wzór
 
gdzie   oraz   dany jest w notacji macierzowej jako
 
gdzie   oraz   zaś   oznacza kwadratową podmacierz jednostkową stopnia   a   oznacza podmacierz zerową, definiuje formę dwuliniową, która czyni z przestrzeni euklidesowej   tzw. przestrzeń pseudoeuklidesową   Przypadki   oraz   to modele przestrzeni Minkowskiego[l]. Z twierdzenia Sylvestera o bezwładności form kwadratowych wynika, że każda niezdegenerowana (rezygnując z nieosobliwości dopuszcza się zera na przekątnej), symetryczna forma dwuliniowa ma w pewnej bazie (przestrzeni liniowej nad ciałem charakterystyki różnej od 2) powyższą postać.

OrtogonalnośćEdytuj

Za pomocą formy dwuliniowej można wprowadzić pojęcie (uogólnionej) ortogonalności: wektory   i   są ortogonalne, co zapisuje się   względem dwuliniowej formy   wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Dla podprzestrzeni   oraz wektora   przestrzeni   pisze się   jeżeli   dla wszystkich   z przestrzeni   podobnie   oraz   gdzie   jest pewną podprzestrzenią liniową (definicje te rozszerza się często na dowolne podzbiory). Relacja   nie musi pociągać, ani być pociągana przez   Najważniejszymi formami dwuliniowymi są te, dla których relacja   jest symetryczna, tzn.

 

co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy forma ją definiująca jest refleksywna (tzn. symetryczna bądź alternująca[c]). Wówczas dla dowolnej podprzestrzeni   można zdefiniować zbiór

 [m]

tworzący przestrzeń liniową (gdyż jest to jądro   bądź   na mocy symetryczności) nazywaną dalej podprzestrzenią ortogonalną do  [n]; w literaturze częściej spotyka się nazwę „dopełnienie ortogonalne”, choć w ogólnym przypadku wcale nie musi być dopełnieniem, gdyż może się zdarzyć, iż   Wektory należące do tej części wspólnej (tzw. podprzestrzeni izotropowej), tzn. wektory   spełniające   (prostopadłe do samych siebie), nazywa się izotropowymi; wektory niespełniające tego warunku nazywane są czasem nieizotropowymi bądź anizotropowymi. Zachodzi wzór  [o]. Podprzestrzeń ortogonalna jest trywialna (czyli dana przestrzeń nie ma niezerowych wektorów izotropowych), tzn. przestrzeń   jest sumą prostą   wtedy i tylko wtedy, gdy forma dwuliniowa jest niezdegenerowana (jedynym anizotropowym wektorem przestrzeni unitarnej jest zero, gdyż dodatnia określoność iloczynu skalarnego pociąga jego niezdegenerowanie, zob. przedostatni przykład). Wówczas dla dowolnych podprzestrzeni   przestrzeni   jest   oraz   i zachodzi również   zaś podprzestrzeń   jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy   jest niezdegenerowana. Warunki   oraz   nie są równoważne – pierwszy pociąga drugi, lecz implikacja odwrotna jest fałszywa: podprzestrzenie   i   mogą mieć nietrywialne przecięcie, choć suma ich wymiarów może uzupełniać się do wymiaru przestrzeni[p]; zgodnie z powyższymi obserwacjami wspomniana równość dotycząca wymiarów jest prawdziwa, gdy   jest niezdegenerowana, a   jest dowolna albo gdy   jest dowolna, a   jest niezdegenerowana.

Układ   wektorów przestrzeni   nazywa się ortogonalnym, jeżeli dla dowolnych   zachodzi   Dowolny układ ortogonalny wektorów anizotropowych jest liniowo niezależny[q]. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru wyposażonej w symetryczną formę dwuliniową jej bazę nazywa się ortogonalną, jeżeli tworzy ona układ ortogonalny; niech   oznacza bazę ortogonalną przestrzeni   Geometrycznie stanowi ona rozkład   na ortogonalną sumę prostą   prostych   Pojęcie bazy ortonormalnej, czyli takiej bazy ortogonalnej, dla której   (znanej z przestrzeni euklidesowych) nie znajduje właściwie zastosowań w ogólnej sytuacji, gdyż może ona po prostu nie istnieć[r]. Każda skończeniewymiarowa przestrzeń ortogonalna nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę ortogonalną (wynika stąd, że każda macierz symetryczna przystaje do macierzy diagonalnej, zob. ostatni przykład; ponadto   jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy   dla każdego  [s], tzn. wektor anizotropowy nie może być elementem bazy ortogonalnej przestrzeni). Obserwacja ta, czasem formułowana z wykorzystaniem formy kwadratowej zamiast symetrycznej formy dwuliniowej, nazywana jest niekiedy twierdzeniem Lagrange'a.

Jeśli podprzestrzeń ortogonalna przestrzeni nad ciałem charakterystyki różnej od 2 jest trywialna, to przekształcenie   dane wzorem   gdzie   oznacza zbiór wszystkich podzbiorów przestrzeni   tworzący przestrzeń rzutową, nazywa się biegunowością ortogonalną na przestrzeni   W ten sposób powstają wszystkie biegunowości ortogonalne, a dwie symetryczne formy dwuliniowe indukują tę samą biegunowość wtedy i tylko wtedy, gdy są równe co do mnożenia przez skalar.

SymplektycznośćEdytuj

Zamieniając warunek symetryczności formy dwuliniowej na alternacyjność można wprowadzić analogon baz ortogonalnych w postaci tzw. baz symplektycznych. Niech dana będzie przestrzeń   z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą. Wówczas jej wymiar   jest dodatnią liczbą parzystą. Bazą symplektyczną przestrzeni   nazywa się układ wektorów   który spełnia   oraz dla której płaszczyzny   są ortogonalne. Ponadto z alternacyjności wynika   Dowolne dwie przestrzenie z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą są równoważne; w szczególności w przestrzeni ustalonego parzystego wymiaru istnieje tylko jedna niezdegenerowana, alternująca forma dwuliniowa. Formę dwuliniową na   która ma w bazie standardowej   macierz złożoną z klatek postaci  [t] na głównej przekątnej i podmacierzy zerowych   w pozostałych miejscach, nazywa się standardową formą alternującą bądź formą objętości na tej przestrzeni. W bazie Darboux   ma ona postać

 

gdzie   jest podmacierzą jednostkową stopnia  

Jak wspomniano wyżej, pojęcie podprzestrzeni ortogonalnej można również zdefiniować dla form alternujących; podprzestrzeń   nazywa się

  • symplektyczną, jeżeli   co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy   zawężona do   jest niezdegenerowana.
  • izotropową, jeśli   co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   zawężona do   jest tożsamościowo równa zeru (każda podprzedstrzeń jednowymiarowa jest izotropowa).
  • koizotropową, gdy   czyli wtedy i tylko wtedy, gdy   przeniesiona na przestrzeń ilorazową   jest niezdegenerowana, co jest równoważne izotropowości   (każda podprzestrzeń kowymiaru 1 jest koizotropowa).
  • Lagrange'a, jeżeli   tzn. gdy jest zarazem izotropowa i koizotropowa; w przestrzeniach skończonego wymiaru podprzestrzenie te mają wymiar równy połowie wymiaru   każdą podprzestrzeń izotropową można rozszerzyć tak, by była Lagrange'a (zob. grassmannian Lagrange'a).

Wyznacznik dowolnej nieosobliwej macierzy alternującej (antysymetrycznej)   nad ciałem   jest kwadratem pewnej liczby z  [u], nazywa się go pfaffianem   tej macierzy – jest to zatem uniwersalna konstrukcja pierwiastka wyznacznika odwracalnych macierzy alternujących (z dokładnością do znaku[v]). Dla dowolnych macierzy kwadratowych   i   parzystego stopnia   zachodzi ponadto

 

gdzie   jest macierzą alternującą[w]. Dodatkowo   Jeżeli   jest nieodwracalna, to   jeśli   jest macierzą zamiany współrzędnych do bazy standardowej odwracalnej macierzy   (tzn.   i   są takimi macierzami odwracalnymi, że   jest standardową formą alternującą na przestrzeni), to  

Iloczyny tensoroweEdytuj

Osobny artykuł: iloczyn tensorowy.

O formach dwuliniowych na przestrzeni liniowej można myśleć jak o przekształceniach liniowych danej przestrzeni w przestrzeń dualną, co opisano w sekcji o macierzy formy; konstrukcja iloczynu tensorowego umożliwia traktowanie form dwuliniowych jako przekształceń liniowych: na mocy własności uniwersalnej iloczynu tensorowego forma dwuliniowa   na przestrzeni liniowej   nad ciałem   pozostaje we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z formą liniową   daną wzorem

 

Z definicji formy liniowe tworzą przestrzeń dualną; w ten sposób przestrzeń   form dwuliniowych na   jest naturalnie izomorficzna z   którą można z kolei w naturalny sposób utożsamiać z   poprzez odwzorowanie   Spojrzenie to tłumaczy zatem, złożeniem których przekształceń liniowych jest mnożenie macierzy form dwuliniowych.

Niech   oznacza przestrzeń liniową przekształceń liniowych   Przekształceniu dwuliniowemu   gdzie   są dowolnymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem   odpowiada przekształcenie liniowe   przy czym zachodzą następujące izomorfizmy naturalne:

 

oraz

 

Pierwszy z nich przekształca   w   drugi zaś w   Jeśli   a   (ciało taktowane jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa nad sobą), to stają się one dwoma różnymi izomorfizmami   na   mianowicie   oraz  

Dwie szczególne klasy form dwuliniowych, formy symetryczne oraz alternujące, można opisać w języku potęg symetrycznej i zewnętrznej. Forma symetryczna postrzegana jako forma liniowa   jest symetryczna, jeżeli znikają dla niej wszystkie tensory postaci   i alternująca, jeśli znikają dla niej tensory postaci   W ten sposób forma dwuliniowa symetryczna może być traktowana jako forma liniowa   odwzorowująca   gdzie kropka oznacza iloczyn symetryczny (wewnętrzny) w   formy alternujące utożsamia się z kolei z przekształceniami   danymi wzorem   gdzie   oznacza iloczyn alternujący (zewnętrzny). Ponieważ formy liniowe tworzą przestrzeń dualną, to symetryczne formy dwuliniowe są elementami   zaś alternujące formy dwuliniowe to elementy   przy czym można utożsamić te przestrzenie odpowiednio z drugą potęgą symetryczną   i drugą potęgą zewnętrzną   przestrzeni  

Ponieważ   i   są dobrze określone jako przestrzenie ilorazowe   to poza ciałem charakterystyki 2 można je utożsamiać z odpowiednimi podprzestrzeniami   mianowicie pisząc   zamiast   oraz   w miejsce   W ten sposób   na mocy wzoru   Zamieniając   na   otrzymuje się   poza ciałem charakterystyki 2, czyli przedstawienie ogólnej formy dwuliniowej w postaci jednoznacznej sumy form dwuliniowych symetrycznej i antysymetrycznej (zob. własności)[e].

ZastosowaniaEdytuj

Teoria form dwuliniowych znajduje zastosowanie w wielu działach matematyki:

UwagiEdytuj

  1. Wynika to z równości   skąd  
  2. Jeżeli   będzie liczbą parzystą, a   jest macierzą formy dwuliniowej   która jest antysymetryczna, lecz nie jest ani symetryczna, ani alternująca dla   z pierścienia   rozpatrywanego jako  -moduł.
  3. a b Dostateczność: refleksywność wynika wprost z równości   Konieczność: niech   warunek   daje   skąd np.   oraz   z refleksywności warunek   daje wtedy   Z podstawienia   otrzymuje się   co oznacza, że   pociąga   (podobnie  ). Wystarczy teraz pokazać, że niesymetryczna forma refleksywna jest alternująca; z założenia istnieją więc   spełniające   dla których   jeśli   lub   to   daje   w przeciwnym przypadku   czyli   zatem   analogicznie   Stąd zaś   dlatego   ze względu na   a więc  
  4. Ponieważ   to   a więc w ciele charakterystyki różnej od 2 jest   w ciele charakterystyki 2 zachodzi z kolei  
  5. a b Dodając i odejmując stronami równości   oraz   otrzymuje się przedstawienia   oraz   Jednoznaczność otrzymuje się z odwrócenia rozumowania.
  6. Wynika to wprost z powyższej uwagi dotyczącej ciał charakterystyki 2.
  7. Zachodzi  
  8. Czasem nietrywialność jądra nazywana bywa „niezdegenerowaniem”, a pełność rzędu – „nieosobliwością”; w ten sposób niezdegenerowanie nie musi pociągać nieosobliwości.
  9. Jeśli   i   to   gdzie  
  10. Kontrprzykład (zob. ostatni przykład): choć przestrzeń   jest niezdegenerowana, to płaszczyzna rozpinana przez wektory   oraz   w   jest zdegenerowana (czyli zdegenerowane jest zawężenie   do tej płaszczyzny), gdyż   oraz   Istnieją w   wektory, które nie są prostopadłe do   np.   ale nie leżą one we wspomnianej płaszczyźnie.
  11. Czasami oznacza się ją symbolem   − odpowiada ona wtedy tzw. zewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; symbol ten stosuje się również do oznaczania ortogonalności podprzestrzeni danej przestrzeni (z formami dwuliniowymi z niej indukowanymi) − ogólnie mówi się wówczas o wewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; w ogólności symbol   można stosować względem dowolnych podzbiorów danej przestrzeni, zob. ortogonalność.
  12. Tak jak przestrzeń lokalnie podobną do przestrzeni euklidesowej nazywa się rozmaitością riemannowską (rozmaitość różniczkowa, dla której przestrzeń styczna w każdym jej punkcie wyposażona jest w dodatnio określoną symetryczną formę dwuliniową, tzn. iloczyn skalarny), tak przestrzeń lokalnie podobną do przestrzeni pseudoeuklidesowej nazywa się rozmaitością pseudoriemannowską (rozmaitość różniczkowa, która w dowolnym punkcie ma przestrzeń styczną z niezdegenerowaną, symetryczną formą dwuliniową, tzn. uogólnionym iloczynem skalarnym); odpowiednikiem rozmaitości pseudoriemannowskiej dla niezdegenerowanych alternujących form dwuliniowych (nazywanych też formami symplektycznymi) różniczkowych zamkniętych jest rozmaitość symplektyczna.
  13. Zbiór   definiuje się również jako zbiór   wówczas jest on podprzestrzenią w   a nie   izomorfizmem między nimi jest zwykle   lub  
  14. Pojęcie to jest przypadkiem szczególnym tzw. anihilatora   danego podzbioru   przestrzeni   bądź radykału   czyli zbioru tych   dla których   dla wszystkich   który tworzy podprzestrzeń liniową w   w powyższym przypadku zachodzi  
  15. Dla dowolnej niezdegenerowanej, niekoniecznie refleksywnej, formy   oraz podprzestrzeni   przestrzeni   można zdefiniować zbiory   oraz   które mają wymiar równy   i dla których zachodzi  
  16. Niech   oznacza płaszczyznę w przestrzeni pseudoeuklidesowej   (zob. ostatni i czwarty przykład) rozpinaną przez wektory   oraz   ponieważ   jest niezdegenerowana na   to   skąd   jest jednowymiarowa, a bezpośrednie obliczenia wskazują, iż   czyli   co oznacza, że   nie jest sumą (prostą)   oraz   co pozostaje w zgodzie ze zdegenerowaniem podprzestrzeni   w  
  17. Jeśli   jest układem ortogonalnym, to zakładając   dla każdego   zachodzi   czyli  
  18. Przestrzeń   nie ma bazy ortonormalnej względem   gdyż równanie   nie ma rozwiązań wymiernych, choć   jest bazą ortonormalną przestrzeni   względem tej samej formy  
  19. Macierz formy   w tej bazie jest diagonalna z elementami   na przekątnej, których nieznikanie jest równoważne odwracalności tej macierzy.
  20. Macierz tej postaci jest macierzą jednostki urojonej w macierzowej reprezentacji liczb zespolonych.
  21. Odpowiadająca tej macierzy niezdegenerowana forma dwuliniowa alternująca   ma w pewnej bazie   postać   przechodząc do bazy standardowej   otrzymuje się  
  22. Często ustala się go w następujący sposób: współczynnik przy   w   jest równy  
  23. Wzór ten wynika z równoważności wszystkich niezdegenerowanych form dwuliniowych alternujących na przestrzeni liniowej ustalonego wymiaru.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.