Otwórz menu główne

Spis treści

Forma kwadratowa (funkcjonał kwadratowy) – wielomian jednorodny II stopnia zmiennych określony na przestrzeni liniowej – zmienne występują tu najwyżej w drugiej potędze; ogólna postać

gdzie:

  • – stałe współczynniki liczbowe – całkowite, wymierne, rzeczywiste lub zespolone,
  • – zmienne, współrzędne dowolnego wektora danej przestrzeni liniowej
  • jednorodność II stopnia oznacza, że dla dowolnej liczby zachodzi równość,

W przypadku jednej zmiennej, dwóch zmiennych oraz trzech zmiennych formy nazywa się odpowiednio unarną, binarną i ternarną. Mają one postacie:

gdzie są stałymi współczynnikami[a].

Np.

jest formą kwadratową trzech zmiennych

Funkcje kwadratowe, jak np. w przypadku jednej zmiennej, nie są na ogół formami kwadratowymi, gdyż nie są jednorodne (chyba że oraz są równe 0).

Pojęcie formy kwadratowej zajmuje fundamentalne miejsce w różnych działach matematyki, takich jak np. teoria liczb, algebra liniowa, teoria grup (w tym teoria grup ortogonalnych), geometria różniczkowa (metryka Riemanna, druga forma fundamentalna), topologia różniczkowa.

Uwaga: O ile nie zaznaczono inaczej, w artykule rozpatruje się przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem charakterystyki różnej od 2.

HistoriaEdytuj

Pytania, czy jakaś liczba całkowita spełnia zadaną formę kwadratową, zadawano wiele stuleci temu. Przykładem jest teoria Fermata o sumie dwóch kwadratów, która określa, kiedy istnieje liczba całkowita spełniająca formę   gdzie     – liczby całkowite. Problem ten jest analogiczny do znajdowania trójek pitagorejskich, który pojawił się w drugim tysiącleciu p.n. Chr.[b]

W 628, Hinduski matematyk Brahmagupta napisał dzieło Brāhmasphuṭasiddhānta zawierające m.in. wyniki badań równań typu   W szczególności znalazł rozwiązanie równania (zwanego dziś równaniem Pella)  [c]. W Europie problem ten badali Brouncker, Euler i Lagrange.

W 1801 Gauss opublikował dzieło Disquisitiones Arithmeticae, w którym główną część poświęcił teorii binarnych form kwadratowych o współczynnikach całkowitych. Jego idee zostały uogólnione i z czasem odkryto związki z liczbowymi ciałami kwadratowymi, z grupami modularnymi i innymi działami matematyki.

Forma kwadratowa a forma dwuliniowaEdytuj

Tw. 1 Każdej formie kwadratowej[d][e]   odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa   określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki

 
 

Np.

(a) formą dwuliniową dodatnio określoną i symetryczną jest iloczyn skalarny wektorów  

 

(b) formą kwadratową odpowiadająca jednoznacznie iloczynowi skalarnemu jest iloczyn skalarny wektora przez samego siebie – definiuje on kwadrat normy, która określa długości wektorów przestrzeni liniowej:

 

Df. Funkcję   nazywa się formą dwuliniową odpowiadającą formie   (stowarzyszoną z formą  ).

Czynnik   jest powodem, dla którego wyklucza się ciała, w których   formy kwadratowe w ciałach charakterystyki 2 opisano w oddzielnej sekcji.

Wybór bazy a przedstawienie formyEdytuj

Jeżeli   jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru   to wybór bazy przestrzeni prowadzi do przedstawienia   w postaci jednorodnego wielomianu kwadratowego[f]. Z drugiej strony dowolny jednorodny wielomian II stopnia   zadaje we współrzędnych pewnej bazy formę kwadratową na  [g].

WłasnościEdytuj

Tw. Forma dwuliniowa jest symetryczna.

Df. Formy kwadratowe nazywa się równoważnymi, jeśli równoważne są odpowiadające im formy dwuliniowe[h].

Df. Przestrzeń   nazywa się przestrzenią kwadratową.

Df. Przestrzenie   i   nazywa się izomorficznymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm liniowy   że

 
dla wszystkich  

Df. Ortogonalną sumą prostą   przestrzeni   i   nazywa się sumę prostą przestrzeni   w której zdefiniowano formą kwadratową

 

Oznaczenie:   oznacza  -krotną ortogonalną sumę prostą przestrzeni kwadratowej   ze sobą.

Df. Wektorem izotropowym względem   (bądź  ) nazywa się niezerowy wektor   dla którego

 

Innymi słowy: wektor izotropowy to wektor niezerowy, będący rozwiązaniem równania

 
czyli wektor niezerowy, który jest ortogonalny sam do siebie.

Macierze odpowiadające formomEdytuj

(1) Wybierając bazę w   formie kwadratowej   zdefiniowanej na przestrzeni  -wymiarowej, można przypisać macierz   symetryczną   w następujący sposób:

 

gdzie   jest dowolnym wektorem o   współrzędnych   takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; indeks górny   oznacza transpozycję.

Macierz   nazywaną macierzą formy kwadratowej względem ustalonej bazy[i].

(2) Symetrycznej formie dwuliniowej   stowarzyszonej z formą   odpowiada identyczna macierz   taka że

 

(3) Zmiana bazy w   powoduje, że formie   przyporządkowana zostaje inna macierz   przy czym zachodzi związek

 

gdzie   jest macierzą zamiany bazy.

Df. Macierze danej formy kwadratowej, wyrażone w różnych bazach, nazywa się macierzami przystającymi.

Df. Wyróżnikiem formy kwadratowej   reprezentowanej przez macierz   nazywa się liczbę

  modulo niezerowe kwadraty,

gdzie  wyznacznik macierzy  

Df. Formę kwadratową nazywa się niezdegenerowaną (nieosobliwą), gdy jej macierz jest odwracalna, tzn. ma niezerowy wyznacznik.

DiagonalizacjaEdytuj

Zobacz też: diagonalizacja.

Df. Forma kwadratowa   jest w postaci diagonalnej, jeśli zadana jest jako suma kwadratów współrzędnych wektora   tj.

 

Tw. Forma kwadratowa   jest w postaci diagonalnej, jeżeli jej reprezentacja macierzowa jest diagonalna, tzn. wszystkie wyrazy macierzy poza główną przekątną są równe zeru.

Twierdzenie Lagrange’a
Dla każdej formy kwadratowej istnieje baza, w której forma ma postać diagonalną

Tw. Wyznacznik formy kwadratowej w postaci diagonalnej wynosi

 [j]

Konstrukcja bazy ortogonalnej

Konstrukcję bazy ortogonalnej można przeprowadzić w oparciu o własności odpowiadającej jej formy dwuliniowej:

  1. należy rozpocząć od wyboru dowolnego wektora   dla którego  
  2. trzeba wybrać z podprzestrzeni   wektor   taki że   wektory   i   są ortogonalne i liniowo niezależne,
  3. należy przejść do   i wskazać w niej wektor   taki że   itd.,
  4. proces kończy się na podprzestrzeni, na której   zeruje się tożsamościowo:
    1. jeśli jest to podprzestrzeń zerowa, to wybrane wektory tworzą bazę, w której   ma postać diagonalną,
    2. w przeciwnym wypadku bazę diagonalizującą   na całej przestrzeni tworzą wybrane wektory oraz dowolna baza otrzymanej podprzestrzeni.

Twierdzenia

Następujące stwierdzenie charakteryzuje formy kwadratowe wprowadzające liczby podwójne. Dla formy kwadratowej   określonej na przestrzeni dwuwymiarowej następujące warunki są równoważne:

(a) ma ona postać   w pewnej bazie,

(b) jej wyróżnik jest równy  

(c) jest ona niezdegenerowana i daje wektory izotropowe.

KlasyfikacjaEdytuj

W tej sekcji   będzie niezdegenerowana, zaś   oznaczać będzie liczby rzeczywiste   liczby zespolone   lub dowolne ciało skończone   nieparzystej charakterystyki.

SygnaturaEdytuj

Twierdzenie[k]
Każda forma kwadratowa na   jest równoważna z formą diagonalną  

Twierdzenie

Dowolna forma kwadratowa na   jest równoważna z formą diagonalną postaci
 

gdzie  

Jeśli   to formy

  oraz  

są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy

  i  

Wniosek:

Dana forma kwadratowa na   jest wyznaczona z dokładnością do równoważności przez parę liczb   którą można uzyskać z diagonalizacji formy:

  jest liczbą znaków dodatnich,
  to liczba znaków ujemnych.

Df. Parę liczb   nazywa się sygnaturą formy kwadratowej.

(czasem sygnaturą nazywa się tylko liczbę   gdyż   jest jednoznacznie wyznaczone przy danym  ).

Formy kwadratowe a geometriaEdytuj

Formy kwadratowe wprowadzają na zbiorze  

– mówimy, że formy kwadratowe generują geometrie pseudoriemannowskie (w szczególnym przypadku formy – geometrię euklidesową). Z tego względu formy kwadratowe mają fundamentalne znaczenie dla geometrii różniczkowej.

Określoność formyEdytuj

Zobacz też: określoność formy.

Df. Formę kwadratową   na przestrzeni liniowej nad   nazywa się dodatnio określoną (lub dodatnią), jeżeli   i ujemnie określoną (lub ujemną), gdy   dla wszystkich  [l]

Tw. Każda dodatnio określona forma na przestrzeni wymiaru   jest równoważna sumie   kwadratów. Podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie.

Własności te nie zależą od wyboru współrzędnych w przestrzeni.

UniwersalnośćEdytuj

Jeśli   jest określona na przestrzeni   co najmniej trójwymiarowej nad ciałem skończonym   to daje ona wektory izotropowe. W ciele dowolnej charakterystyki pociąga to uniwersalność formy   tzn.  [m][n]. Choć stwierdzenie o istnieniu wektorów izotropowych w dowolnych przestrzeniach wymiaru 2 nie jest prawdziwe, to prawdą jest, iż dowolna forma na przestrzeni dwuwymiarowej nad ciałem skończonym jest uniwersalna[o].

Twierdzenie
Niech   będzie niekwadratem. Dowolna forma kwadratowa na przestrzeni liniowej wymiaru   nad ciałem skończonym   jest równoważna z dokładnie jedną formą na   mianowicie:   lub
 

W szczególności wymiar i wyróżnik wyznaczają formę nad ciałem skończonym w sposób jednoznaczny z dokładnością do równoważności.

Reguła równoległoboku i polaryzacjaEdytuj

Tw. 1 Dla dowolnej formy kwadratowej   zachodzi wzór nazywany regułą równoległoboku[p]

 

Tw. 2 Podobny wzór

 

znany również jako tożsamość polaryzacyjna, wyraża formę dwuliniową   za pomocą formy kwadratowej   jednak w inny sposób niż podany w definicji.

Być może oba powyższe wzory mogą posłużyć do zdefiniowania formy kwadratowej? Zagadnieniem tym zajęli się John von Neumann i Pascual Jordan, którzy dowiedli

Tw. 3 (Jordana-von Neumanna)

Założenia:

(1)   spełnia tożsamość

 

(2)   jest określona wzorem

 

Teza:

  jest symetryczna, dwuaddytywna oraz
 

Dwuaddytywność pociąga  -dwuliniowość. Stąd   z powyższego twierdzenia jest  -dwuliniowa, jeśli   jest charakterystyki zero lub  -dwuliniowa, jeśli   jest charakterystyki   Oznacza to, że jeśli   lub   to forma   jest kwadratowa. Jeżeli   to forma   jest kwadratowa, o ile   jest skończonego wymiaru (bądź ogólniej: zupełna), przy dodatkowym założeniu, że   jest ciągła (co pociąga ciągłość   a stąd jej  -dwuliniowość).

Przy oznaczeniach   oraz   i przyjęciu   powyższe twierdzenie mówi, że:

  • w dowolnej przestrzeni Banacha   z normą   w której spełniona jest tożsamość równoległoboku, można wprowadzić iloczyn skalarny   za pomocą tożsamości polaryzacyjnej,
  • wprowadzenie to czyni z   przestrzeń Hilberta.

Ciała charakterystyki 2Edytuj

O ile nie zaznaczono inaczej, niżej przestrzenie liniowe określone są nad ustalonym ciałem   charakterystyki 2.

Niech   będzie przestrzenią liniową. Przekształcenie   nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na   jeżeli:

  • jest jednorodne II stopnia,
     
  • następująca funkcja jest dwuliniowa:
     

Definicja we współrzędnych nie ulega zmianie: forma kwadratowa to jednorodna, kwadratowa funkcja wielomianowa. Podobnie definiuje się pozostałe pojęcia i dowodzi równoważności definicji abstrakcyjnej i z ustaloną bazą. Zasadniczą różnicą jest postać macierzowa: macierz   formy kwadratowej   jest górnotrójkątna, nie zaś symetryczna; macierz   odpowiadającej jej formy dwuliniowej   jest z kolei symetryczna z zerami na przekątnej głównej[q]. Niekiedy powyższą definicję stosuje się dla ciał dowolnej charakterystyki[r], jednak przyjęcie jej sprawia, iż forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową wyrażającą się sumą kwadratów nie daje standardowego iloczynu skalarnego, lecz jego dwukrotność.

Jest   wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy   spoza przekątnej głównej znikają (równoważnie:   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest diagonalizowalna w pewnej bazie). Gdy charakterystyka nie jest równa 2, wyrazy spoza przekątnej dowolnej formy kwadratowej zerują się w odpowiedniej bazie, jednakże wyrazy spoza przekątnej głównej w  potrzebne w ciele charakterystyki 2, gdy stowarzyszona z nią symetryczna forma dwuliniowa nie jest zerowa. Z definicji dowolna forma kwadratowa (w ciele charakterystyki 2) ma powiązaną symetryczną formę dwuliniową, choć odpowiedniość między formami kwadratowymi a symetrycznymi formami dwuliniowymi nie jest iniektywna, ani surjektywna: różne formy kwadratowe (np.   oraz  ) mogą mieć tę samą symetryczną formę dwuliniową, a pewne symetryczne formy dwuliniowe (np.  ) nie są formami dwuliniowymi jakichkolwiek form kwadratowych. W języku macierzy każda forma kwadratowa w ciele charakterystyki różnej od 2 może być zapisana jako   gdzie   jest pewną macierzą symetryczną, nie jest to jednak prawda w ciele charakterystyki 2. Forma kwadratowa przedstawiona w baie z wyrazami poza przekątną nie jest reprezentowana przez macierz symetryczną w jakiekolwiek bazie. Jednakże odpowiadająca jej forma dwuliniowa jest zawsze reprezentowana za pomocą macierzy symetrycznej (zob. wyżej). Dlatego nie wolno mylić macierzy   formy kwadratowej w ciele charakterystyki 2 z macierzą postaci   jej formy dwuliniowej.

Kluczową obserwacją jest to, że symetryczna forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową w ciele charakterystyki 2 jest alternująca:

 

W ciele charakterystyki innej niż 2 można odzyskać   z   gdyż   ale dla charakterystyki 2 jest   Ponieważ dowolna alternująca forma dwuliniowa jest symetryczna w ciele charakterystyki 2, to o odpowiedniości z   do   w ciele charakterystyki 2 należy myśleć jako o przekształceniu form kwadratowych w alternujące (a nie tylko symetryczna) formy dwuliniowe. Wówczas jest ono surjektywne, ale nadal nigdy nie jest iniektywne, tzn. nie istnieje żaden odpowiednik polaryzacji dla charakterystyki 2, a więc sama wiedza o   nie wystarcza do odzyskania informacji o   Zatem choć w ciele charakterystyki różnej od 2 pewne pojęcia można wyrazić równie dobrze w języku form kwadratowych bądź symetrycznych form kwadratowych, to w ciele charakterystyki 2 ich wyrażenie w obu tych językach może być niemożliwe.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Tradycja zapoczątkowana przez Gaussa każe używać parzystych współczynników przy iloczynach różnych zmiennych, tj. w postaci   zamiast   w formach binarnych oraz   zamiast   w formach ternarnych. Obie konwencje są stosowane w literaturze.
  2. Babylonian Pythagoras.
  3. Brahmagupta biography.
  4. Niektórzy autorzy terminy „forma” i „funkcjonał” bądź traktują synonimicznie, bądź stosują tylko jeden z nich, np. Komorowski (s. 104) i Więsław (s. 217) używają jedynie określenia „forma kwadratowa”, podając definicję odwzorowania przestrzeni liniowej w ciało skalarów. Inni, np. Gleichgewicht (s. 179–180) czy Newelski (rozdz. 14), odróżniają „funkcjonał” (przekształcenie, funkcja wielomianowa, przedstawienie niezależne od współrzędnych) od „formy” (wyrażenie formalne, wielomian, przedstawienie w bazie). W tym podejściu „forma kwadratowa” jest przedstawieniem „funkcjonału kwadratowego” w ustalonej bazie, co wyjaśniono w definicji; w tym artykule nie stosuje się tej konwencji.
  5. Poniższy warunek można przedstawić w dogodniejszej postaci   w szczególności   jest równoważne   co czyni z   funkcję addytywną tej przestrzeni liniowej.
  6. Indukcja po liczbie wyrazów daje   dla dowolnego   i wektorów   Stąd jeżeli   jest bazą tej przestrzeni, to   gdzie   oraz  
  7. Jeśli   jest postaci wielomianowej jak wyżej, to natychmiast otrzymuje się pierwszą część definicji,   dla dowolnego   z kolei dla   oraz   uzyskuje się drugą,   przy oznaczeniach   oraz   W notacji macierzowej wzór ten można wyrazić jako   gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych   zaś     oraz
     
    jest macierzą formy dwuliniowej na   co czyni zadość definicji formy kwadratowej.
  8. Na mocy tożsamości polaryzacyjnej.
  9. Wynika to wprost z zapisania   w postaci wielomianowej z macierzą   o postaci jak w przypisie wyżej.
  10. Niech   będzie bazą ortogonalną stowarzyszonej z   symetrycznej formy dwuliniowej   (istnieje zawsze dla ciał charakterystyki różnej od 2); w bazie tej wyrazy mieszane znikają, a więc   jest w postaci diagonalnej; macierz   jest wówczas diagonalna, a więc jej wyróżnik jest wymaganej postaci.
  11. Twierdzenie to można uogólnić na zdegenerowane formy kwadratowe – nazywa się je wtedy twierdzeniem Sylvestera-Jacobiego o bezwładności form kwadratowych.
  12. Niezdegenerowane formy kwadratowe, które nie są ani dodatnio, ani ujemnie określone, nazywa się nieokreślonymi. Rozpatruje się także nierówności nieostre: mówi się wtedy o formach określonych niedodatnio i nieujemnie (bądź półokreślonych dodatnio i ujemnie).
  13. Niech   będzie wektorem, dla którego   ponieważ   a   (z niezdegenerowania), to   z niezdegenerowania formy istnieje   dla którego stowarzyszona forma dwuliniowa   Wówczas dla dowolnego   zachodzi   czyli jest to funkcja liniowa zmiennej   która przyjmuje wszystkie wartości z  
  14. Twierdzenie jest fałszywe, gdy   jest zdegenerowana, np.   na   gdzie  
  15. Po przedstawieniu formy w postaci diagonalnej wystarczy dowieść, iż wielomian postaci   przyjmuje wszystkie wartości z   dla   otóż forma   gdzie   jest niekwadratem, przyjmuje zero wyłącznie dla   co dowodzi różnowartościowości tej funkcji liniowej zmiennej   Wynik ten tłumaczy też dlaczego ograniczenie   w pierwszym twierdzeniu jest ostre.
  16. Wzór ten łatwo wyprowadzić z alternatywnej postaci drugiego wzoru definiującego: wystarczy dodać go do siebie, przy czym jeden z nich z podstawieniem   Odjęcie ze wspomnianym podstawieniem daje kolejny.
  17. Formalnie jest to macierz   pomnożona przez 2.
  18. Wówczas związek między formą kwadratową   a odpowiadającą jej symetryczną formą dwuliniową wyraża się wzorem  

BibliografiaEdytuj

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979, s. 123–138.
  • T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.
  • Więsław, Witold: Algebra geometryczna. Skrypt dla studentów matematyki. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1974.
  • Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  • Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. ​ISBN 83-01-03903-5​.
  • Newelski, Ludomir: Algebra liniowa II, Rozdział 14. W przygotowaniu.

Linki zewnętrzneEdytuj