Forma wieloliniowa

Forma $k$ -liniowa, funkcjonał $k$ -liniowy, albo $k$ -tensor na przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ to funkcja postaci

F\colon V^{k}\to K,

liniowa względem wszystkich swoich argumentów. Formy $k$ -liniowe stanowią uogólnienie form liniowych i dwuliniowych oraz jeden ze sposobów sformalizowania pojęcia tensora. Odgrywają bardzo ważną rolę w geometrii różniczkowej gdzie z reguły za ich pomocą definiuje się formy różniczkowe i (pośrednio) całkę z formy różniczkowej po rozmaitości.

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Funkcję $F\colon V^{k}\to K,$ która jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, tzn.

F(v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{k})=F(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{k})+F(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{k})

oraz

F(v_{1},\dots ,\alpha v_{i},\dots ,v_{k})=\alpha F(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{k})

dla dowolnych $v_{1},\dots ,v_{k},v_{i}'\in V,\ \alpha \in K$ i $i=1,\dots ,k$ nazywamy formą $k$ -liniową, funkcjonałem $k$ -liniowym lub krótko: $k$ -formą lub $k$ -tensorem na $V$ ^[1].

Zbiór $k$ -tensorów na $V$ oznaczamy $T^{k}(V).$

Struktura przestrzeni liniowej

W $T^{k}(V)$ na przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ wprowadzamy strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo:

(F+G)(x):=F(x)+G(x),

(\alpha F)(x):=\alpha F(x)

dla $x\in V^{k}$ i $\alpha \in K.$

Iloczyn tensorowy form wieloliniowych

Zobacz też: Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych.

Bardzo ważnym działaniem na formach wieloliniowych jest iloczyn tensorowy form wieloliniowych $\otimes \colon T^{k}(V)\times T^{l}(V)\to T^{k+l}(V)$ dany wzorem

(F\otimes G)(v_{1},\dots ,v_{k},v_{k+1},\dots ,v_{k+l}):=F(v_{1},\dots ,v_{k})\cdot G(v_{k+1},\dots ,v_{k+l})

dla $v_{1},\dots ,v_{k+l}\in V.$ Działanie to będziemy w dalszym ciągu nazywać krótko iloczynem tensorowym.

Iloczyn tensorowy jest łączny:

(F\otimes G)\otimes H=F\otimes (G\otimes H),

i rozdzielny względem dodawania:

F\otimes (G+H)=F\otimes G+F\otimes H

(F+G)\otimes H=F\otimes H+G\otimes H

nie jest jednak przemienny:

F\otimes G\neq G\otimes F.

Istotnie, załóżmy, że przestrzeń liniowa $V$ ma wymiar $n\geqslant 2$ i rozpatrzmy rzutowania $e^{i}$ na $i$ -tą współrzędną względem bazy $(e_{i})_{i=1}^{n}$ tzn. funkcje $e^{i}\colon V\to K,i=1,\dots ,n$ dane wzorem

e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right):=v_{i}.

Rzutowania $e^{i}$ są $1$ -formami, ma więc dla nich sens iloczyn tensorowy. Mamy

e^{1}\otimes e^{2}(e_{1},e_{2})=e^{1}(e_{1})e^{2}(e_{2})=1\cdot 1\neq 0\cdot 0=e^{2}(e_{1})e^{1}(e_{2})=e^{2}\otimes e^{1}(e_{1},e_{2}).

Baza i przedstawienie

Załóżmy, że przestrzeń liniowa $V$ nad $K$ jest $n$ -wymiarowa i rozpatrzmy rzutowania na $i$ -tą współrzędną względem bazy $(e_{i})_{i=1}^{n}$ przestrzeni $V,$ tzn. funkcje $e^{i}\colon V\to K$ postaci

e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right):=v_{i}.

Rzutowania te są $1$ -formami, ma zatem sens ich iloczyn tensorowy. Utwórzmy iloczyny

e^{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e^{i_{k}}

dla pewnych indeksów $1\leqslant i_{1},\dots ,i_{k}\leqslant n.$ Iloczyny te stanowią bazę przestrzeń $T^{k}(V).$ W szczególności wynika z tego, że każdą $k$ -formę na $V$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

F=\sum _{i_{1},\dots ,i_{k}=1}^{n}r_{i_{1},\dots ,i_{k}}e^{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e^{i_{k}}

dla pewnych skalarów $r_{i_{1},\dots ,i_{k}}\in K.$

Cofnięcie formy

Rozpatrzmy przestrzeń $T^{k}(W).$ Każde przekształcenie liniowe $L\colon V\to W$ indukuje odwzorowanie $L^{*}\colon T^{k}(W)\to T^{k}(V)$ dane wzorem

L^{*}F(v_{1},\dots ,v_{k}):=F(Lv_{1},\dots ,Lv_{k}),

dla $F\in T^{k}(W),$ które nazywamy cofnięciem formy. $L^{*}F$ jest już $k$ -tensorem na $V.$

Formy antysymetryczne

W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają formy antysymetryczne, gdyż pola tensorów antysymetrycznych to jedyne pola tensorowe, które można całkować.

Zobacz też: Forma różniczkowa.

Definicja

Niech $F\in T^{k}(v).$ Niech $S_{k}$ oznacza rodzinę permutacji zbioru $\{1,\dots ,k\}.$ Powiemy, że $F$ jest formą antysymetryczną, jeżeli dla dowolnej permutacji $\sigma \in S_{k}$ zachodzi

F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )F(v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}).

Uwagi do definicji

(1) Innymi słowy $F$ jest formą antysymetryczną, jeżeli zamieniając miejscami dwa dowolne argumenty zmienia się znak formy $F$ na przeciwny.

(2) Ponieważ jedyną permutacją zbioru $\{1\}$ jest identyczność i jej znak wynosi 1, to każda $1$ -forma jest antysymetryczna.

(3) Zbiór $k$ -form antysymetrycznych na przestrzeni liniowej $V$ oznaczamy $\Lambda ^{k}(V).$

(4) $\Lambda ^{k}(V)$ tworzy przestrzeń liniową wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo.

(5) Z powodu warunku antysymetryczności $\Lambda ^{k}(V)$ na $n$ -wymiarowej przestrzeni liniowej $V$ jest przestrzenią liniową ${\binom {n}{k}}$ -wymiarową. Wynika to z postaci bazy przestrzeni $\Lambda ^{k}(V).$ W szczególności dla $k>n$ formy antysymetryczne są tożsamościowo równe 0.

Antysymetryzacja

Dowolną formę $F\in T^{k}(V)$ można „przerobić” na formę antysymetryczną za pomocą odwzorowania nazywanego antysymetryzacją albo alternacją $\mathrm {Alt} \colon T^{k}(V)\to \Lambda ^{k}(V)$ danego wzorem

$\mathrm {Alt} F(v_{1},\dots ,v_{k}):={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k)}).$

Jeżeli $F\in T^{k}(V)$ jest formą antysymetryczną to

\mathrm {Alt} F=F,

czyli odwzorowanie alternacji nie zmienia form antysymetrycznych.

Iloczyn zewnętrzny form wieloliniowych

Ponieważ wynikiem iloczynu tensorowego form antysymetrycznych może nie być forma antysymetryczna, to wprowadza się „poprawiony” iloczyn tensorowy $\wedge :\Lambda ^{k}(V)\times \Lambda ^{l}(V)\to \Lambda ^{k+l}(V)$ tak aby wynik mnożenia był formą antysymetryczną. Definiujemy go wzorem

F\wedge G:={\frac {(k+l)!}{k!l!}}\mathrm {Alt} (F\otimes G).

Nazywamy go iloczynem zewnętrznym, albo alternującym. Iloczyn zewnętrzny jest łączny:

(F\wedge G)\wedge H=F\wedge (G\wedge H),

rozdzielny względem dodawania:

(F+G)\wedge H=F\wedge H+G\wedge H,

F\wedge (G+H)=F\wedge G+F\wedge H.

Ponadto zachodzi:

F\wedge G=(-1)^{kl}G\wedge F

dla $F\in \Lambda ^{k}(V),\ G\in \Lambda ^{l}(V).$

Baza i przedstawienie

Niech $V$ będzie $n$ -wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Utwórzmy iloczyny

e^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_{k}}

dla $1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n.$ Iloczyny te stanowią bazę przestrzeni $\Lambda ^{k}(V).$ W szczególności wynika z tego, że każdą formę $F\in \Lambda ^{k}(V)$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

F=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}r_{i_{1},\dots ,i_{k}}e^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_{k}}

dla pewnych skalarów $r_{i_{1},\dots ,i_{k}}\in K.$

Przykłady

(1) Zdefiniujmy $F\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ wzorem

F(x,y)=F((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})):=x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}+3x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}.

$F$ jest $2$ -tensorem. Możemy go zapisać w postaci

{\begin{aligned}&F((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))\\={}&e^{1}(x)e^{1}(y)+2e^{1}(x)e^{2}(y)+3e^{2}(x)e^{1}(y)+4e^{2}(x)e^{2}(y)\\={}&e^{1}\otimes e^{1}(x,y)+2e^{1}\otimes e^{2}(x,y)+3e^{2}\otimes e^{1}(x,y)+4e^{2}\otimes e^{2}(x,y),\end{aligned}}

gdzie $e^{1},e^{2}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ to rzutowania zdefiniowane

e^{1}(x_{1},x_{2}):=x_{1},\quad e^{2}(x_{1},x_{2}):=x_{2}.

Widzimy, że $F$ możemy zapisać

F=e^{1}\otimes e^{1}+2e^{1}\otimes e^{2}+3e^{2}\otimes e^{1}+4e^{2}\otimes e^{2}.

(2) Iloczyn skalarny $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {R}$ to funkcja taka, że

\langle \alpha v_{1}+\beta v_{2},v\rangle =\alpha \langle v_{1},v\rangle +\beta \langle v_{2},v\rangle ,

\langle v,\alpha v_{1}+\beta v_{2}\rangle =\alpha \langle v,v_{1}\rangle +\beta \langle v,v_{2}\rangle .

Wynika z tego, że iloczyn skalarny jest $2$ -tensorem na $V.$

(3) Definicja aksjomatyczna wyznacznika mówi, że wyznacznik to funkcja $\det \colon (\mathbb {R} ^{n})^{n}\to \mathbb {R}$ taka, że

\det(v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{n})=\det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n})+\det(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{n}),

\det(v_{1},\dots ,\alpha v_{i},\dots ,v_{n})=\alpha \det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),

\det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{n})=-\det(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),

Gdzie $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}$ oznaczają tutaj kolumny macierzy $(v_{1},v_{2}\dots ,v_{n}).$ Oznacza to, że wyznacznik jest $n$ -tensorem na $\mathbb {R} ^{n}.$ Co więcej, jest to tensor antysymetryczny.