Niech
V
{\displaystyle V}
będzie przestrzenią liniową nad ciałem
K
.
{\displaystyle K.}
Funkcję
F
:
V
k
→
K
,
{\displaystyle F\colon V^{k}\to K,}
która jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, tzn.
F
(
v
1
,
…
,
v
i
+
v
i
′
,
…
,
v
k
)
=
F
(
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
k
)
+
F
(
v
1
,
…
,
v
i
′
,
…
,
v
k
)
{\displaystyle F(v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{k})=F(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{k})+F(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{k})}
oraz
F
(
v
1
,
…
,
α
v
i
,
…
,
v
k
)
=
α
F
(
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
k
)
{\displaystyle F(v_{1},\dots ,\alpha v_{i},\dots ,v_{k})=\alpha F(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{k})}
dla dowolnych
v
1
,
…
,
v
k
,
v
i
′
∈
V
,
α
∈
K
{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k},v_{i}'\in V,\ \alpha \in K}
i
i
=
1
,
…
,
k
{\displaystyle i=1,\dots ,k}
nazywamy formą
k
{\displaystyle k}
-liniową, funkcjonałem
k
{\displaystyle k}
-liniowym lub krótko:
k
{\displaystyle k}
-formą lub
k
{\displaystyle k}
-tensorem na
V
{\displaystyle V}
[1] .
Zbiór
k
{\displaystyle k}
-tensorów na
V
{\displaystyle V}
oznaczamy
T
k
(
V
)
.
{\displaystyle T^{k}(V).}
Struktura przestrzeni liniowej
Edytuj
Iloczyn tensorowy form wieloliniowych
Edytuj
Bardzo ważnym działaniem na formach wieloliniowych jest iloczyn tensorowy form wieloliniowych
⊗
:
T
k
(
V
)
×
T
l
(
V
)
→
T
k
+
l
(
V
)
{\displaystyle \otimes \colon T^{k}(V)\times T^{l}(V)\to T^{k+l}(V)}
dany wzorem
(
F
⊗
G
)
(
v
1
,
…
,
v
k
,
v
k
+
1
,
…
,
v
k
+
l
)
:=
F
(
v
1
,
…
,
v
k
)
⋅
G
(
v
k
+
1
,
…
,
v
k
+
l
)
{\displaystyle (F\otimes G)(v_{1},\dots ,v_{k},v_{k+1},\dots ,v_{k+l}):=F(v_{1},\dots ,v_{k})\cdot G(v_{k+1},\dots ,v_{k+l})}
dla
v
1
,
…
,
v
k
+
l
∈
V
.
{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k+l}\in V.}
Działanie to będziemy w dalszym ciągu nazywać krótko iloczynem tensorowym.
Iloczyn tensorowy jest łączny:
(
F
⊗
G
)
⊗
H
=
F
⊗
(
G
⊗
H
)
,
{\displaystyle (F\otimes G)\otimes H=F\otimes (G\otimes H),}
i rozdzielny względem dodawania:
F
⊗
(
G
+
H
)
=
F
⊗
G
+
F
⊗
H
{\displaystyle F\otimes (G+H)=F\otimes G+F\otimes H}
(
F
+
G
)
⊗
H
=
F
⊗
H
+
G
⊗
H
{\displaystyle (F+G)\otimes H=F\otimes H+G\otimes H}
nie jest jednak przemienny:
F
⊗
G
≠
G
⊗
F
.
{\displaystyle F\otimes G\neq G\otimes F.}
Istotnie, załóżmy, że przestrzeń liniowa
V
{\displaystyle V}
ma wymiar
n
⩾
2
{\displaystyle n\geqslant 2}
i rozpatrzmy rzutowania
e
i
{\displaystyle e^{i}}
na
i
{\displaystyle i}
-tą współrzędną względem bazy
(
e
i
)
i
=
1
n
{\displaystyle (e_{i})_{i=1}^{n}}
tzn. funkcje
e
i
:
V
→
K
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle e^{i}\colon V\to K,i=1,\dots ,n}
dane wzorem
e
i
(
v
)
=
e
i
(
∑
j
=
1
n
v
j
e
j
)
:=
v
i
.
{\displaystyle e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right):=v_{i}.}
Rzutowania
e
i
{\displaystyle e^{i}}
są
1
{\displaystyle 1}
-formami, ma więc dla nich sens iloczyn tensorowy. Mamy
e
1
⊗
e
2
(
e
1
,
e
2
)
=
e
1
(
e
1
)
e
2
(
e
2
)
=
1
⋅
1
≠
0
⋅
0
=
e
2
(
e
1
)
e
1
(
e
2
)
=
e
2
⊗
e
1
(
e
1
,
e
2
)
.
{\displaystyle e^{1}\otimes e^{2}(e_{1},e_{2})=e^{1}(e_{1})e^{2}(e_{2})=1\cdot 1\neq 0\cdot 0=e^{2}(e_{1})e^{1}(e_{2})=e^{2}\otimes e^{1}(e_{1},e_{2}).}
Baza i przedstawienie
Edytuj
Załóżmy, że przestrzeń liniowa
V
{\displaystyle V}
nad
K
{\displaystyle K}
jest
n
{\displaystyle n}
-wymiarowa i rozpatrzmy rzutowania na
i
{\displaystyle i}
-tą współrzędną względem bazy
(
e
i
)
i
=
1
n
{\displaystyle (e_{i})_{i=1}^{n}}
przestrzeni
V
,
{\displaystyle V,}
tzn. funkcje
e
i
:
V
→
K
{\displaystyle e^{i}\colon V\to K}
postaci
e
i
(
v
)
=
e
i
(
∑
j
=
1
n
v
j
e
j
)
:=
v
i
.
{\displaystyle e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right):=v_{i}.}
Rzutowania te są
1
{\displaystyle 1}
-formami, ma zatem sens ich iloczyn tensorowy. Utwórzmy iloczyny
e
i
1
⊗
…
⊗
e
i
k
{\displaystyle e^{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e^{i_{k}}}
dla pewnych indeksów
1
⩽
i
1
,
…
,
i
k
⩽
n
.
{\displaystyle 1\leqslant i_{1},\dots ,i_{k}\leqslant n.}
Iloczyny te stanowią bazę przestrzeń
T
k
(
V
)
.
{\displaystyle T^{k}(V).}
W szczególności wynika z tego, że każdą
k
{\displaystyle k}
-formę na
V
{\displaystyle V}
można jednoznacznie przedstawić w postaci
F
=
∑
i
1
,
…
,
i
k
=
1
n
r
i
1
,
…
,
i
k
e
i
1
⊗
…
⊗
e
i
k
{\displaystyle F=\sum _{i_{1},\dots ,i_{k}=1}^{n}r_{i_{1},\dots ,i_{k}}e^{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e^{i_{k}}}
dla pewnych skalarów
r
i
1
,
…
,
i
k
∈
K
.
{\displaystyle r_{i_{1},\dots ,i_{k}}\in K.}
Cofnięcie formy
Edytuj
Rozpatrzmy przestrzeń
T
k
(
W
)
.
{\displaystyle T^{k}(W).}
Każde przekształcenie liniowe
L
:
V
→
W
{\displaystyle L\colon V\to W}
indukuje odwzorowanie
L
∗
:
T
k
(
W
)
→
T
k
(
V
)
{\displaystyle L^{*}\colon T^{k}(W)\to T^{k}(V)}
dane wzorem
L
∗
F
(
v
1
,
…
,
v
k
)
:=
F
(
L
v
1
,
…
,
L
v
k
)
,
{\displaystyle L^{*}F(v_{1},\dots ,v_{k}):=F(Lv_{1},\dots ,Lv_{k}),}
dla
F
∈
T
k
(
W
)
,
{\displaystyle F\in T^{k}(W),}
które nazywamy cofnięciem formy .
L
∗
F
{\displaystyle L^{*}F}
jest już
k
{\displaystyle k}
-tensorem na
V
.
{\displaystyle V.}
Formy antysymetryczne
Edytuj
W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają formy antysymetryczne, gdyż pola tensorów antysymetrycznych to jedyne pola tensorowe, które można całkować.
Niech
F
∈
T
k
(
v
)
.
{\displaystyle F\in T^{k}(v).}
Niech
S
k
{\displaystyle S_{k}}
oznacza rodzinę permutacji zbioru
{
1
,
…
,
k
}
.
{\displaystyle \{1,\dots ,k\}.}
Powiemy, że
F
{\displaystyle F}
jest formą antysymetryczną, jeżeli dla dowolnej permutacji
σ
∈
S
k
{\displaystyle \sigma \in S_{k}}
zachodzi
F
(
v
σ
(
1
)
,
v
σ
(
2
)
,
…
,
v
σ
(
k
)
)
=
sgn
(
σ
)
F
(
v
1
,
v
2
,
…
,
v
k
)
.
{\displaystyle F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )F(v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}).}
Uwagi do definicji
Edytuj
(1) Innymi słowy
F
{\displaystyle F}
jest formą antysymetryczną, jeżeli zamieniając miejscami dwa dowolne argumenty zmienia się znak formy
F
{\displaystyle F}
na przeciwny.
(2) Ponieważ jedyną permutacją zbioru
{
1
}
{\displaystyle \{1\}}
jest identyczność i jej znak wynosi 1, to każda
1
{\displaystyle 1}
-forma jest antysymetryczna.
(3) Zbiór
k
{\displaystyle k}
-form antysymetrycznych na przestrzeni liniowej
V
{\displaystyle V}
oznaczamy
Λ
k
(
V
)
.
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V).}
(4)
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}
tworzy przestrzeń liniową wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo.
(5) Z powodu warunku antysymetryczności
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}
na
n
{\displaystyle n}
-wymiarowej przestrzeni liniowej
V
{\displaystyle V}
jest przestrzenią liniową
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
-wymiarową. Wynika to z postaci bazy przestrzeni
Λ
k
(
V
)
.
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V).}
W szczególności dla
k
>
n
{\displaystyle k>n}
formy antysymetryczne są tożsamościowo równe 0.
Antysymetryzacja
Edytuj
Dowolną formę
F
∈
T
k
(
V
)
{\displaystyle F\in T^{k}(V)}
można „przerobić” na formę antysymetryczną za pomocą odwzorowania nazywanego antysymetryzacją albo alternacją
A
l
t
:
T
k
(
V
)
→
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {Alt} \colon T^{k}(V)\to \Lambda ^{k}(V)}
danego wzorem
A
l
t
F
(
v
1
,
…
,
v
k
)
:=
1
k
!
∑
σ
∈
S
k
sgn
(
σ
)
F
(
v
σ
(
1
)
,
v
σ
(
2
)
,
…
,
v
σ
(
k
)
)
.
{\displaystyle \mathrm {Alt} F(v_{1},\dots ,v_{k}):={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k)}).}
Jeżeli
F
∈
T
k
(
V
)
{\displaystyle F\in T^{k}(V)}
jest formą antysymetryczną to
A
l
t
F
=
F
,
{\displaystyle \mathrm {Alt} F=F,}
czyli odwzorowanie alternacji nie zmienia form antysymetrycznych.
Iloczyn zewnętrzny form wieloliniowych
Edytuj
Ponieważ wynikiem iloczynu tensorowego form antysymetrycznych może nie być forma antysymetryczna, to wprowadza się „poprawiony” iloczyn tensorowy
∧
:
Λ
k
(
V
)
×
Λ
l
(
V
)
→
Λ
k
+
l
(
V
)
{\displaystyle \wedge :\Lambda ^{k}(V)\times \Lambda ^{l}(V)\to \Lambda ^{k+l}(V)}
tak aby wynik mnożenia był formą antysymetryczną. Definiujemy go wzorem
F
∧
G
:=
(
k
+
l
)
!
k
!
l
!
A
l
t
(
F
⊗
G
)
.
{\displaystyle F\wedge G:={\frac {(k+l)!}{k!l!}}\mathrm {Alt} (F\otimes G).}
Nazywamy go iloczynem zewnętrznym , albo alternującym . Iloczyn zewnętrzny jest łączny:
(
F
∧
G
)
∧
H
=
F
∧
(
G
∧
H
)
,
{\displaystyle (F\wedge G)\wedge H=F\wedge (G\wedge H),}
rozdzielny względem dodawania:
(
F
+
G
)
∧
H
=
F
∧
H
+
G
∧
H
,
{\displaystyle (F+G)\wedge H=F\wedge H+G\wedge H,}
F
∧
(
G
+
H
)
=
F
∧
G
+
F
∧
H
.
{\displaystyle F\wedge (G+H)=F\wedge G+F\wedge H.}
Ponadto zachodzi:
F
∧
G
=
(
−
1
)
k
l
G
∧
F
{\displaystyle F\wedge G=(-1)^{kl}G\wedge F}
dla
F
∈
Λ
k
(
V
)
,
G
∈
Λ
l
(
V
)
.
{\displaystyle F\in \Lambda ^{k}(V),\ G\in \Lambda ^{l}(V).}
Baza i przedstawienie
Edytuj
Niech
V
{\displaystyle V}
będzie
n
{\displaystyle n}
-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem
K
.
{\displaystyle K.}
Utwórzmy iloczyny
e
i
1
∧
…
∧
e
i
k
{\displaystyle e^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_{k}}}
dla
1
⩽
i
1
<
…
<
i
k
⩽
n
.
{\displaystyle 1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n.}
Iloczyny te stanowią bazę przestrzeni
Λ
k
(
V
)
.
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V).}
W szczególności wynika z tego, że każdą formę
F
∈
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle F\in \Lambda ^{k}(V)}
można jednoznacznie przedstawić w postaci
F
=
∑
1
⩽
i
1
<
…
<
i
k
⩽
n
r
i
1
,
…
,
i
k
e
i
1
∧
…
∧
e
i
k
{\displaystyle F=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}r_{i_{1},\dots ,i_{k}}e^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_{k}}}
dla pewnych skalarów
r
i
1
,
…
,
i
k
∈
K
.
{\displaystyle r_{i_{1},\dots ,i_{k}}\in K.}
(1) Zdefiniujmy
F
:
R
2
×
R
2
→
R
{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
wzorem
F
(
x
,
y
)
=
F
(
(
x
1
,
x
2
)
,
(
y
1
,
y
2
)
)
:=
x
1
y
1
+
2
x
1
y
2
+
3
x
2
y
1
+
4
x
2
y
2
.
{\displaystyle F(x,y)=F((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})):=x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}+3x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}.}
F
{\displaystyle F}
jest
2
{\displaystyle 2}
-tensorem. Możemy go zapisać w postaci
F
(
(
x
1
,
x
2
)
,
(
y
1
,
y
2
)
)
=
e
1
(
x
)
e
1
(
y
)
+
2
e
1
(
x
)
e
2
(
y
)
+
3
e
2
(
x
)
e
1
(
y
)
+
4
e
2
(
x
)
e
2
(
y
)
=
e
1
⊗
e
1
(
x
,
y
)
+
2
e
1
⊗
e
2
(
x
,
y
)
+
3
e
2
⊗
e
1
(
x
,
y
)
+
4
e
2
⊗
e
2
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&F((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))\\={}&e^{1}(x)e^{1}(y)+2e^{1}(x)e^{2}(y)+3e^{2}(x)e^{1}(y)+4e^{2}(x)e^{2}(y)\\={}&e^{1}\otimes e^{1}(x,y)+2e^{1}\otimes e^{2}(x,y)+3e^{2}\otimes e^{1}(x,y)+4e^{2}\otimes e^{2}(x,y),\end{aligned}}}
gdzie
e
1
,
e
2
:
R
2
→
R
{\displaystyle e^{1},e^{2}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
to rzutowania zdefiniowane
e
1
(
x
1
,
x
2
)
:=
x
1
,
e
2
(
x
1
,
x
2
)
:=
x
2
.
{\displaystyle e^{1}(x_{1},x_{2}):=x_{1},\quad e^{2}(x_{1},x_{2}):=x_{2}.}
Widzimy, że
F
{\displaystyle F}
możemy zapisać
F
=
e
1
⊗
e
1
+
2
e
1
⊗
e
2
+
3
e
2
⊗
e
1
+
4
e
2
⊗
e
2
.
{\displaystyle F=e^{1}\otimes e^{1}+2e^{1}\otimes e^{2}+3e^{2}\otimes e^{1}+4e^{2}\otimes e^{2}.}
(2) Iloczyn skalarny
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
V
×
V
→
R
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} }
to funkcja taka, że
⟨
α
v
1
+
β
v
2
,
v
⟩
=
α
⟨
v
1
,
v
⟩
+
β
⟨
v
2
,
v
⟩
,
{\displaystyle \langle \alpha v_{1}+\beta v_{2},v\rangle =\alpha \langle v_{1},v\rangle +\beta \langle v_{2},v\rangle ,}
⟨
v
,
α
v
1
+
β
v
2
⟩
=
α
⟨
v
,
v
1
⟩
+
β
⟨
v
,
v
2
⟩
.
{\displaystyle \langle v,\alpha v_{1}+\beta v_{2}\rangle =\alpha \langle v,v_{1}\rangle +\beta \langle v,v_{2}\rangle .}
Wynika z tego, że iloczyn skalarny jest
2
{\displaystyle 2}
-tensorem na
V
.
{\displaystyle V.}
(3) Definicja aksjomatyczna wyznacznika mówi, że wyznacznik to funkcja
det
:
(
R
n
)
n
→
R
{\displaystyle \det \colon (\mathbb {R} ^{n})^{n}\to \mathbb {R} }
taka, że
det
(
v
1
,
…
,
v
i
+
v
i
′
,
…
,
v
n
)
=
det
(
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
n
)
+
det
(
v
1
,
…
,
v
i
′
,
…
,
v
n
)
,
{\displaystyle \det(v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{n})=\det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n})+\det(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{n}),}
det
(
v
1
,
…
,
α
v
i
,
…
,
v
n
)
=
α
det
(
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
n
)
,
{\displaystyle \det(v_{1},\dots ,\alpha v_{i},\dots ,v_{n})=\alpha \det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),}
det
(
v
1
,
…
,
v
i
,
…
,
v
j
,
…
,
v
n
)
=
−
det
(
v
1
,
…
,
v
j
,
…
,
v
i
,
…
,
v
n
)
,
{\displaystyle \det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{n})=-\det(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),}
Gdzie
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}
oznaczają tutaj kolumny macierzy
(
v
1
,
v
2
…
,
v
n
)
.
{\displaystyle (v_{1},v_{2}\dots ,v_{n}).}
Oznacza to, że wyznacznik jest
n
{\displaystyle n}
-tensorem na
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Co więcej, jest to tensor antysymetryczny.
(4) Niech
V
{\displaystyle V}
będzie przestrzenią liniową z pewną bazą
(
e
i
)
i
=
1
n
.
{\displaystyle (e_{i})_{i=1}^{n}.}
Obliczmy
e
i
∧
e
j
.
{\displaystyle e^{i}\wedge e^{j}.}
Z definicji iloczynu zewnętrznego mamy
(
e
i
∧
e
j
)
(
v
1
,
v
2
)
=
2
!
1
!
1
!
A
l
t
(
e
i
⊗
e
j
)
(
v
1
,
v
2
)
=
2
!
1
2
!
(
e
i
⊗
e
j
(
v
1
,
v
2
)
−
e
i
⊗
e
j
(
v
2
,
v
1
)
)
=
e
i
⊗
e
j
(
v
1
,
v
2
)
−
e
j
⊗
e
i
(
v
1
,
v
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&(e^{i}\wedge e^{j})(v_{1},v_{2})\\={}&{\frac {2!}{1!1!}}\mathrm {Alt} \left(e^{i}\otimes e^{j}\right)(v_{1},v_{2})\\={}&2!{\frac {1}{2!}}\left(e^{i}\otimes e^{j}(v_{1},v_{2})-e^{i}\otimes e^{j}(v_{2},v_{1})\right)\\={}&e^{i}\otimes e^{j}(v_{1},v_{2})-e^{j}\otimes e^{i}(v_{1},v_{2}).\end{aligned}}}
Widzimy, że
e
i
∧
e
j
=
e
i
⊗
e
j
−
e
j
⊗
e
i
.
{\displaystyle e^{i}\wedge e^{j}=e^{i}\otimes e^{j}-e^{j}\otimes e^{i}.}
W szczególności wynikają z tego przydatne związki
e
i
∧
e
j
=
−
e
j
∧
e
i
,
e
i
∧
e
i
=
0.
{\displaystyle e^{i}\wedge e^{j}=-e^{j}\wedge e^{i},\quad e^{i}\wedge e^{i}=0.}
↑ L. L. Górniewicz L. L. , R.S. R.S. Ingarden R.S. R.S. , Analiza matematyczna dla fizyków , Wydawnictwo Naukowe UMK .brak strony (książka)
Bibliografia
Edytuj
L Górniewicz, R.S. Ingarden: Analiza matematyczna dla fizyków . Wydawnictwo Naukowe UMK. brak strony w książce
M. Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach . brak strony w książce