Funkcja

typ relacji dwuczłonowej używany w matematyce i innych naukach

Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”[a]), odwzorowanie[1][2], przekształcenie[3], transformacja[4] ze zbioru do zbioru która każdemu elementowi zbioru przypisuje (odwzorowuje) dokładnie jeden element zbioru [5].


Metaforyczne (ale prezycyjne) przedstawienie funkcji jako maszyny, która przekształca dany element ze zbioru , na pewien element ze zbioru .


Diagram przedstawiajacy funkcję: każdemu elementowi zbioru przyporządkowano (strzałką) dokładnie jeden element zbioru .

Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki[6] i innych nauk ścisłych oraz stosowanych, o szerokich zastosowaniach w działalności czowieka na wielu polach.

Formalna definicja

edytuj

Funkcja   to trójka uporządkowana składająca się z poniższych elementów[7][8][9][10][11][12][13]:

  • dziedziny   będącej dowolnym zbiorem (którego elementy nazywamy argumentami funcji[14]),
  • przeciwdziedziny   również będącej dowolnym zbiorem (którego elementy nazywamy wartościami funkcji[14]),
  • wykresu   będącym zbiorem par, takim że  


Wyjaśnienie

edytuj

Wykres   to zbiór tylko takich par, że dla każdego elementu   z   istnieje dokładnie jeden   z   taki że para   znajduje się w zbiorze   (czyli owa para jest „punktem” z wykresu funkcji).

Zauważmy że dla teoriomnogościowej definicji trójki jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja   staje się zbiorem.

Powyższa definicja nazywana jest definicją Bourbakiego[7][8] (wprowadzoną w 1954 r.[15]), a jej odmianą zredukowaną tylko do wykresu (tj.  ), również powszechnie używaną jest definicja Peano.

Notacja

edytuj

Funkcje oznacza się na ogół literami (małymi lub dużymi)   itd., ale stosuje się również litery greckie np. funkcja dzeta  , oznaczenia wieloliterowe np. sin, czy symbole np. iloczyn wektorowy  . Dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji   przyporządkowującej elementom zbioru   elementy zbioru  , tradycyjnie zapisuje się w poniższy sposób:

 .

Wartość   funkcji   dla argumentu   zapisujemy zwykle w formie formuły  , która jednocześnie definije caly wykres funkcji  . Ale stosuje się również indywidualne notacje dla niektórych funkcji np. wartość bezwzględna  , silnia  , dodawanie   (i inne działania), i tym podobne.

Pełny tradycyjny zapis funkcji (zawierający informację o dziedzinie, przeciwdziedzinie i wykresie) jest zgodny z szablonem:

 ,  


Zmienna zależna i niezalezna

edytuj

Zapiszmy wykres funkcji w formie formuły  . Zmienną  , oznaczającą dowolny argument funkcji, nazywamy zmienną niezależną. Zmienną   nazywamy zmienną zależną gdyż jej konkretna wartość zależy od   i wybranego  [16].

Zbiór wszystkich funkcji

edytuj

Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru   do zbioru   oznacza się  [2].

Notacja dla funkcji wielu zmiennych

edytuj

Zgodnie z definicja formalną, każda funkcja może przyjmować dokładnie jeden argument (który jest elementem dziedziny). Jednak dziedzina w szczególności może być zbiorem par albo trójek albo w ogólności n-tek . Funkcje o takiej dziedzinie nazywamy funkcjami wielu zmiennych. Do ich zapisu stosujemy skrót notacyjny polegający na omijaniu nawiasów funkcji, podczas podstawiania do niej danej pary/trójki/n-tki . Przykładowo dla funkcji która dla danego punktu płaszczyzny euklidesowej wyznacza jego wysokość tj.  , gdy postawimy punkt  , czyli argument który jest parą liczb, to zamiast pisać

 

zapisujemy skrótowo:

 

Warto wspomanieć, że wynikiem funkcji również jest dokładnie jedna wartość ale może ona być n-tką zawierająca wiele elementów (np.   przyjmuje parę a zwraca trójkę liczb).

Indywidualna notacja/nazewnictwo dla wybranych funkcji: działań, funkcjonałów, operatorów

edytuj

Jak wspomniano powyżej, stosuje się indywitualną notacje dla niektórych funkcji jednej zmiennej np. wartość bezwzględna  , silnia  , Potęgowanie   itp.

Operacje arytmetyczne są kolejnym przykłądem funkcji dla których stosuje się indywidualną notację np. dodawanie liczb naturalnych   (do oznaczenia tej funkcji użyto tu znaku " " zamist litery " ") z indywidualną notacją w której zamiast pisać   piszemy  , oraz uwzględniamy szereg specyficznych reguł związanych ze składaniem operacji dodawania z samą sobą i innymi operacjami z uwzględnieniem nawiasów. Przykładowo:

 
 ,

notacja (lewa strona powyższych równości) jest intepretowana (prawa strona równości) jako odpowiednie złożenie funkcji   oraz   właśnie ze względu na uwzględnienie owych reguł.


Funkcjonał to funkcja która przyjmuje inną funkcję jako argument i zwraca liczbę jako wynik. Niektóre funkcjonały posiadają indywidualną notację np. funkcjonał   (gdzie   tu zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych całkowalnych w sensie Riemana na przedziale  ) zwracający pole pod wykresem funkcji na przedziale   dla danej funkcji  , to zamiast pisać   piszemy

 .

Operator to funkcja która jako argument przyjmuje pewną funkcję i zwraca inną funkcję. Operatory transformują/zmieniają daną funkcję na inną i często do ich zapisu stosujemy indywidualna odrębną notację (np. transformata Fouriera  , operator składania funkcji  , operator Nabla dla gradientu   itp.)

Funkcje róznowartościowe i "na"

edytuj

Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach.


Funkcje używające tej samej formuły   do zdefiniowania wykresu nie muszą być tożsame. Rozważmy taki przypadek czterech funkcji korzystających z formuły   (poniżej oznaczono:   to liczby rzeczywiste a   to liczby rzeczywiste większe od zera):

  więc z definicji:  
  więc z definicji:  
  więc z definicji:  
  więc z definicji:  

mamy:   (bo każda jest inną trójką). Każda z funkcji ma inny charakter:   to suriekcja,   to bijekcja, k to iniekcja.

Obraz i przeciwobraz

edytuj
  • Zbiór   jest obrazem podzbioru   zbioru   w przekształceniu  [17],
  • dla każdego elementu   przeciwobrazem elementu   (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór   jeśli   to  [17],
  • przeciwobrazem podzbioru   nazywamy zbiór   jeżeli   to  [18].

Wykres funkcji

edytuj
Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykresem funkcji   nazywa się zbiór   Z definicji funkcji wynika, że dla każdego   istnieje dokładnie jeden taki   że   Jeśli   jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Jeżeli zakładamy, że funkcja jest suriekcją, to wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli   to   przy czym   jest jedynym takim elementem.

Ogólne przypadki funkcji i nie-funkcji

edytuj

Poniżej kilka nietypowych/granicznych przypadków – kolumna po stronie lewej trójka f; w środku to interpretacja f jako funkcji w świetle formalnej definicji zapisana w tradycyjnej notacji; ostatnia kolumna to wyjaśnienie (dziedzina   i przeciwdziedzina   to dowolne nie puste zbiory,   to niepusty wykres dla   i  )

trójka tradycyjna notacja wyjaśnienie
    pusty wykres dzedzina, przeciwdziedzina i wykres są zbiorami pustymi
  to nie funkcja jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty (skoro dziedzina jest niepusta więc istnieje   a więc zgodnie z definicją w   musi istnieć para zawierająca  , zatem  )
    pusty wykres dziedzina i wykres są zbiorami pustymi
  to nie funkcja jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta (skoro   więc istnieje jakaś para   gdzie  , zatem  )
  to nie funkcja jeżeli wykres jest niepusty, to i dziedzina nie może być pusta
  to nie funkcja przeciwdziedzina nie może być zbiorem pustym, bo z definicji funkcji wynika, że dla każdego elementu niepustej dziedziny X musi istnieć dokładnie jeden element przeciwdziedziny.
  to nie funkcja jeżeli dziedzina jest niepusta, to i wykres nie może być pusty
    dziedzina jest równa przeciwdziedzinie
  to nie funkcja (przy założeniu ZF) wykres musiałby być tym samym co dziedzina   (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)
  to nie funkcja (przy założeniu ZF) wykres musiałby być tym samym co przeciwdziedzina   (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)


Funkcje liczbowe

edytuj

Ważną klasą funkcji są funkcje

  (zbiór   jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych[19].

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze   można zdefiniować działania arytmetyczne:

  • Dla   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   i   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   i   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  

Funkcja   jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia   że dla każdego   spełniona jest nierówność  

Jeśli funkcja liczbowa   przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

 

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych[19].

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

  gdzie   (jest to funkcja zespolona)
  gdzie   (jest to funkcja rzeczywista)[20]

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

  gdzie  
  gdzie  

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

  gdzie   są współrzędnymi punktu w   lub odpowiednio w  

Rodzaje funkcji liczbowych

edytuj
 
Przykładem funkcji jest kwadrat liczby: y=x2. Funkcja rzeczywista zdefiniowana tym wzorem ma wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych – jest nim parabola.
 
Wykres części rzeczywistej funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej.

Sposoby określania funkcji

edytuj

Jeżeli dziedzina   jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów)[20].

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako   lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania  [20].

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

 

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:

 

albo w taki:

 

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane[21].

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji   w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie[21].

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru

edytuj
  •   – funkcja liniowa
  •   – funkcja kwadratowa
  •   – funkcja wielomianowa
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
  •   – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Funkcja jako związek między zmiennymi

edytuj

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi   i   gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru   a druga przyjmuje wartości ze zbioru   wtedy   nazywa się zmienną niezależną, a  zmienną zależną[22][23]. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej   oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej   oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej   Na przykład droga   w ruchu jednostajnym o prędkości   jest zależna od czasu   ruchu i wyraża się wzorem:

 

W praktyce często się zdarza, że zbiór   jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych   Mówimy wtedy, że zmienna   jest funkcją zmiennych   Na przykład siła   działająca na ciało jest zależna od masy   ciała i jego przyspieszenia  

 

Zastosowania funkcji

edytuj

W matematyce i informatyce

edytuj

Definicję funkcji spełniają na przykład:

W fizyce

edytuj

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

W innych dziedzinach

edytuj

Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:

Chemia:

Biologia:

Medycyna i fizjologia:

  • BMI – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
  • EKG i EEG – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:

Geografia społeczna, demografia i socjologia:

  • piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
  • opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:

Psychologia:

Pojęcia

edytuj

Złożenie. Iteracja

edytuj
Osobny artykuł: złożenie funkcji.
 
Dwie funkcje   i   Ich złożenie przyjmuje wartości:
  @
  @
 
 

Mając dwie funkcje   i   można utworzyć funkcję złożoną   określoną wzorem  

Wielokrotne złożenie funkcji   nosi nazwę iteracji. Ściśle:  -tą iteracją funkcji   nazywa się funkcję

 

Funkcja odwrotna

edytuj
Osobny artykuł: funkcja odwrotna.

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję   taką, że   którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenie

edytuj
Osobny artykuł: Restrykcja funkcji.

Dla funkcji   można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru   Jest to funkcja   taka, że   dla każdego   Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f[25].

Jeżeli   jest funkcją, a   jest jej zawężeniem do zbioru   to dla dowolnego zbioru   mamy  

Z drugiej strony, dla   można przedłużyć funkcję   zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję   Można np. wymagać, by przedłużenie   funkcji   było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Współczesne definicje

edytuj

Funkcja jako pojęcie matematyczne używane było w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach:

  • dla danych dwóch zbiorów   i   funkcją nazywano każde przyporządkowanie[b] elementom zbioru   po jednym elemencie zbioru  [c][17];
  • zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru  [6]. Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako funkcje częściowe.

Definicja Bourbakiego i jej alternatywne formy

edytuj

Definicja   Bourbakiego[7][8], ze względu na prostotę, pełność i ogólność spełnia wymogi współczesnej matematyki[26]. W literaturze definicja może różnić się kolejnością elementów np.   albo  . Spotyka się również wariant tej definicji w której używa się klas zamiast zbiorów[9].

Definicja Peano

edytuj

Jeżeli zakładamy że funkcja jest surjekcją lub jeśli jest wygodne nie ustalanie przeciwdziedziny, wówczas można skorzystać z definicji Peano redukującej funkcję tylko do wykresu funkcji (wykresu z definicji Bourbakiego) tj.   (a więc do pewnego zbioru par). Tak zredukowana definicja jest bardziej pierwotna i została sformalizowana wcześniej. Często w literaturze zaznacza się (z przyczyn głównie historycznych związanych z orginalnym sformułowaniem Peano), że taka zredukowana definicja (wykres) jest pewną relacją binarną. Relacja   jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą kwantyfikatorów[2]:

  1. jednoznaczność[27]:  
  2.  

Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne[28]. Teoria mnogości definiuje relacje za pomocą iloczynu kartezjańskiego zbiorów, czyli zbioru par uporządkowanych:  

Porównanie

edytuj

Należy zauważyć że między definicją Bourbakiego   a definicją Peano   istnieją poważne różnice[29]. Obydwie jednak, są powszechnie używane w literaturze[26].

Rys historyczny

edytuj

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań.

Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia[6]. Leonhard Euler w osiemnastym wieku był pierwszym matematykiem, który użył wpółczesnego oznaczenia funkcji[30]. Euler używał dwóch definicji funkcji, pierwsze jako analityczne wyrażenie (formuła), zawierajaca stałe oraz zmienne. Druga definicja to zmienna zależna od innej zmiennej. Takie samo podejście można znaleźć w książkach Lagrange’a. Drugie podejście, z drobnymi zmianami, było używane przez późniejszych matematyków, takich jak Cauchy, Fourier, Drichlet, czy Riemann[31].

Newton używał terminu fluenta[d]. Terminu funkcja użył po raz pierwszy[32] Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach[33]. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n „dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych”[e][34]. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i   a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych[35].

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę   zapisując argument jeszcze bez nawiasów   Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Definicję relacyjną ok roku 1911 zaproponował Giuseppe Peano[14][36]; utożsamia ona funkcję z jej wykresem tj.  . Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości[potrzebny przypis].

Współczesna definicja   Bourbakiego[7][8] została wprowadzona w 1954 r.[37]. Relacyjna definicja Peano oraz pełna definicja Bourbakiego, są powszechnie używane w literaturze[26].

Zobacz też

edytuj
  1. Od fungor, functus sum, fungi „wykonać, wypełnić, zwolnić”.
  2. W Słowniku języka polskiego, PWN, 1996: ustalić relację między czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś...
  3. Tej szerokiej definicji używali m.in. Giuseppe Peano oraz Kazimierz Kuratowski i Andrzej Mostowski w swojej książce cytowanej poniżej.
  4. Dokładniej, po łacinie, fluentes quantitates.
  5. ...positio n esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus.

Przypisy

edytuj
  1. odwzorowanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22].
  2. a b c Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 73.
  3. przekształcenie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22].
  4.   transformacja (w matematyce) [w:] Wielki słownik języka polskiego [online], Instytut Języka Polskiego PAN [dostęp 2023-12-23].
  5. Halmos 1970 ↓, s. 30.
  6. a b c Funkcja, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22].
  7. a b c d N. Bourbaki, Théorie des ensembles, Paryż: Difussion C.C.L.S., 1970, s. 64, ISBN 2-903684-003-0 (fr.).
  8. a b c d Alison 2020 ↓, s. 1157.
  9. a b Pinter 2014 ↓, s. 52.
  10. Horst Herrlich, George E. Strecker, Category Theory. Third Edition, Heldermann Verlag, 2007, 2 (przypis), ISBN 978-3-88538-001-6 (ang.).
  11. Ali Nesin, Foundations of Mathematics I, Set Theory, Mathematics Department Istanbul Bilgi University, Stambuł 2004, s. 35 (ang.).
  12. R. Mayer, Math 111 Calculus 1 [online], Reed College, 2007, 67 (58) (ang.).
  13. Reinhard Schultz, Mathematics 144 Set Theory, Department of Mathematics University of California, Riverside, California 2012, s. 63 (ang.).
  14. a b c Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 55.
  15. Nicolas Bourbaki, Elements de Mathematique, Theorie des Ensembles, Hermann & cie, 1954, s. 76.
  16. zmienna zależna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22].
  17. a b c Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 21.
  18. Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 22.
  19. a b Winogradow 1985 ↓, s. 715.
  20. a b c Winogradow 1985 ↓, s. 716.
  21. a b Winogradow 1985 ↓, s. 717.
  22. zmienna niezależna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-04-12].
  23. Kuratowski 1967 ↓, s. 60.
  24. równoliczność zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-23].
  25. Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 75.
  26. a b c Alison 2020 ↓, s. 1158.
  27. jednoznaczność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22].
  28. Moszner 1974 ↓, s. 81.
  29. Alison 2020 ↓, s. 1157–1161.
  30. William Dunham: Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 1999, s. 17.
  31. Jahnke 2003 ↓, s. 156–157.
  32. Juszkiewicz, Historia matematyki od starożytności do początku XIX wieku, s. 144, Moskwa, 1970, jęz. rosyjski.
  33. Gottfried Wilhelm Leibniz, Methodus tangentium inversa, seu de functionibus 1673.
  34. Juszkiewicz, op. cit., s. 146.
  35. Johann Bernoulli: Opera Omnia. T. II. Lausannae-Genevae: 1742, s. 241.
  36. G. Peano, Sulla definizione di funzione, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 20 (1911), s. 3–5.
  37. Nicolas Bourbaki, Elements de Mathematique, Theorie des Ensembles, Hermann & cie, 1954, s. 76.

Bibliografia

edytuj

Literatura dodatkowa

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj