Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”[a]) – dla danych dwóch zbiorów i przyporządkowanie[b] każdemu elementowi zbioru dokładnie jednego elementu zbioru [1]. Oznacza się ją na ogół itd.

Jeśli funkcja przyporządkowuje elementom zbioru elementy zbioru to zapisujemy to następująco:

Zbiór nazywa się dziedziną, a zbiór przeciwdziedziną funkcji Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru do zbioru oznacza się często [2]. Ponadto:

  • dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f[2],
  • przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji[2], chociaż właściwszym stwierdzeniem jest: przeciwdziedzina zawiera w sobie zbiór wartości funkcji,
  • każdy element zbioru nazywa się argumentem funkcji[2],
  • każdy element nazywa się wartością funkcji[2],
  • mówi się także, że jest przekształceniem lub odwzorowaniem zbioru w zbiór [2],
  • zbiór jest obrazem podzbioru zbioru w przekształceniu [1],
  • dla każdego elementu przeciwobrazem elementu (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór jeśli to [1].
  • przeciwobrazem podzbioru nazywamy zbiór jeżeli to [3]

Wykres funkcjiEdytuj

Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykresem funkcji   nazywa się zbiór   Z definicji funkcji wynika, że dla każdego   istnieje dokładnie jeden taki   że   Jeśli   jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli   to   przy czym   jest jedynym takim elementem.

Definicja Peana funkcji (za pomocą wykresu)Edytuj

W teorii mnogości często stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peana[2]:

Relacja   jest funkcją[4], jeśli:
 [c],
 

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

Funkcje liczboweEdytuj

Ważną klasą funkcji są funkcje

  (zbiór   jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych[5].

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze   można zdefiniować działania arytmetyczne:

  • Dla   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   i   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   i   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  

Funkcja   jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia   że dla każdego   spełniona jest nierówność  

Jeśli funkcja liczbowa   przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

 

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych[5].

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

  gdzie   (jest to funkcja zespolona)
  gdzie   (jest to funkcja rzeczywista)[6]

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

  gdzie  
  gdzie  

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

  gdzie   są współrzędnymi punktu w   lub odpowiednio w  

Rodzaje funkcji liczbowychEdytuj

Sposoby określania funkcjiEdytuj

 
Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru   przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru   Dwóm różnym elementom w   może odpowiadać ten sam element   Nie każdy element zbioru   musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina   jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów)[6].

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako   lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania  [6].

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

 

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:

 

albo w taki:

 

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane[7].

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji   w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie[7].

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoruEdytuj

  •   – funkcja liniowa
  •   – funkcja kwadratowa
  •   – funkcja wielomianowa
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
  •   – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Funkcja jako związek między zmiennymiEdytuj

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi   i   gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru   a druga przyjmuje wartości ze zbioru   wtedy   nazywa się zmienną niezależną, a  zmienną zależną[8]. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej   oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej   oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej   Na przykład droga   w ruchu jednostajnym o prędkości   jest zależna od czasu   ruchu i wyraża się wzorem:

 

W praktyce często się zdarza, że zbiór   jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych   Mówimy wtedy, że zmienna   jest funkcją zmiennych   Na przykład siła   działająca na ciało jest zależna od masy   ciała i jego przyspieszenia  

 

Przykłady funkcjiEdytuj

W matematyceEdytuj

Definicję funkcji spełniają na przykład:

W fizyceEdytuj

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

W innych dziedzinachEdytuj

Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:

Chemia:

Biologia:

Medycyna i fizjologia:

  • BMI – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
  • EKG i EEG – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:

Geografia społeczna, demografia i socjologia:

  • piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
  • opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:

Psychologia:

  • wyniki testów IQ są rosnącą funkcją czasu – efekt Flynna,
  • funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. dolina niesamowitości,
  • wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i EQ jest opisanych funkcją rozkładu normalnego.

PojęciaEdytuj

Złożenie. IteracjaEdytuj

Osobny artykuł: złożenie funkcji.
 
Dwie funkcje   i   Ich złożenie przyjmuje wartości:
  @
  @
 
 

Mając dwie funkcje   i   można utworzyć funkcję złożoną   określoną wzorem  

Wielokrotne złożenie funkcji   nosi nazwę iteracji. Ściśle:  -tą iteracją funkcji   nazywa się funkcję

 

Funkcja różnowartościowaEdytuj

Osobny artykuł: funkcja różnowartościowa.

Funkcję   nazywa się funkcją różnowartościową lub iniekcją, gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości, tzn. dla dowolnych dwóch   zachodzi warunek

  lub równoważnie  

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem  

Funkcja „na”Edytuj

Osobny artykuł: funkcja „na”.

Funkcję   nazywa się funkcją „na” lub suriekcją, jeżeli jej przeciwdziedzina   jest równocześnie jej zbiorem wartości funkcji. Oznacza to, że dla każdego   istnieje co najmniej jeden taki   że  

Funkcja wzajemnie jednoznacznaEdytuj

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i „na” nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją. Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu   dokładnie jedno   (i na odwrót). Bijekcja   może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory   i   mają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję   nazywa się permutacją.

Funkcja odwrotnaEdytuj

Osobny artykuł: funkcja odwrotna.

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję   taką, że   którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenieEdytuj

Osobny artykuł: Restrykcja funkcji.

Dla funkcji   można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru   Jest to funkcja   taka, że   dla każdego   Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f[9].

Jeżeli   jest funkcją, a   jest jej zawężeniem do zbioru   to dla dowolnego zbioru   mamy  

Z drugiej strony, dla   można przedłużyć funkcję   zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję   Można np. wymagać, by przedłużenie   funkcji   było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Rys historycznyEdytuj

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta[d]. Terminu funkcja użył po raz pierwszy[10] Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach[11]. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą ndowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych[e][12]. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i   a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

 
Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych[13].

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę   zapisując argument jeszcze bez nawiasów   Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Od fungor, functus sum, fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”.
  2. W Słowniku języka polskiego, PWN, 1996: ustalić relację między czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś...
  3. Zarówno Peano, jak Kuratowski z Mostowskim w swojej, cytowanej powyżej, książce nie podawali tego warunku. Funkcję częściową uznawali więc za rodzaj funkcji.
  4. Dokładniej, po łacinie, fluentes quantitates.
  5. ...positio n esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus.

PrzypisyEdytuj

  1. a b c Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 21.
  2. a b c d e f g Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 73.
  3. Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 22.
  4. G. Peano, Sulla definizione di funzione, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 20 (1911), s. 3–5.
  5. a b Winogradow 1985 ↓, s. 715.
  6. a b c Winogradow 1985 ↓, s. 716.
  7. a b Winogradow 1985 ↓, s. 717.
  8. Kuratowski 1967 ↓, s. 60.
  9. Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 75.
  10. Juszkiewicz, Historia matematyki od starożytności do początku XIX wieku, s. 144, Moskwa, 1970, jęz. rosyjski.
  11. Gottfried Wilhelm Leibniz, Methodus tangentium inversa, seu de functionibus 1673.
  12. Juszkiewicz, op. cit., s. 146.
  13. Johann Bernoulli: Opera Omnia. T. II. Lausannae-Genevae: 1742, s. 241.

BibliografiaEdytuj

  • Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1966.
  • Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: PWN, 1968. ISBN 83-01-13949-8.
  • Andriej Kołmogorow, Sergei Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej. Moskwa: Mir, 1989. (ros.)
  • Iwan Winogradow: Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985. (ros.)
  • Juszkiewicz: Historia matematyki od Starożytności do początku XIX wieku. T. 2. Warszawa: PWN, 1976.