Funkcja

typ relacji dwuczłonowej używany w matematyce i innych naukach

Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”[a]), odwzorowanie[1][2], przekształcenie[3], transformacja[4] – pojęcie matematyczne używane w co najmniej dwóch zbliżonych znaczeniach:

  • dla danych dwóch zbiorów i funkcją nazywano każde przyporządkowanie[b] elementom zbioru po jednym elemencie zbioru [c][5];
  • zazwyczaj wymaga się też, aby to przypisanie dotyczyło każdego elementu zbioru [6]. Wtedy obiekty spełniające tylko pierwszy warunek są znane jako funkcje częściowe.
Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru przy czym: (1) dwóm różnym elementom w może odpowiadać ten sam element – funkcja nie musi być iniekcją; (2) nie każdy element zbioru musi być wartością funkcji – funkcja nie musi być suriekcją.
Przykładem funkcji jest kwadrat liczby: y=x2. Funkcja rzeczywista zdefiniowana tym wzorem ma wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych – jest nim parabola.
Wykres części rzeczywistej funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej.

Funkcje oznacza się na ogół literami itd. Jeśli funkcja przyporządkowuje elementom zbioru elementy zbioru to pisze się: W kontekście każdej funkcji używa się kilku podstawowych pojęć:

  • zbiór nazywa się dziedziną funkcji f, przy czym ten termin ma też inne znaczenie opisane w linkowanym artykule. Inna nazwa to zbiór argumentów[2], ponieważ jego każdy element nazywa się argumentem tej funkcji[2] lub zmienną niezależną;
  • zbiór to przeciwdziedzina tej funkcji lub jej zbiór wartości[2], przy czym te terminy mają też inne znaczenie – por. linkowane artykuły. Każdy element nazywa się wartością funkcji[2] lub zmienną zależną[7].

Funkcje to szczególne przypadki relacji binarnych. Relacja jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą kwantyfikatorów[2]:

  1. jednoznaczność[8]:

Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne[9]. Teoria mnogości definiuje relacje za pomocą iloczynu kartezjańskiego zbiorów, czyli zbioru par uporządkowanych:

Termin funkcja pojawił się w matematyce w XVII wieku, po czym kolejni uczeni nadawali mu nowe znaczenia[6]. Funkcje stały się jednym z podstawowych i najważniejszych pojęć całej nowożytnej matematyki[6] i innych nauk ścisłych; funkcje:

Opisano dziesiątki odmian funkcji; niezależnie od dziedziny i przeciwdziedziny można wyróżnić funkcje różnowartościowe (iniekcje), funkcje „na” (suriekcje) oraz przecięcie tych dwóch zbiorów – funkcje wzajemnie jednoznaczne (bijekcje). Inne typy definiuje się m.in. za pomocą konkretnej dziedziny lub przeciwdziedziny, co opisano w dalszych sekcjach. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru do zbioru oznacza się [2].

Formalna definicja edytuj

Funkcja   to trójka składająca się z poniższych elementów[11][12][13][14][15][16]:

  • dziedziny   będącej dowolnym zbiorem,
  • przeciwdziedziny   również będącej dowolnym zbiorem,
  • wykresu   będącym zbiorem par, takim że  .


Wyjaśnienie:

Wykres   to zbiór tylko takich par, że dla każdego elementu   z   istnieje dokładnie jeden   z   taki że para   znajduje się w zbiorze   (czyli owa para jest „punktem” z wykresu funkcji).

Alternatywne definicje edytuj

Dla teoriomnogościowej definicji trójki jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja   staje się zbiorem.

Funkcję można zdefiniować nie jako trójkę, ale jako zbiór:   ale będzie zawężało to definicję – ponieważ będzie wymagało użycia dodatkowych założeń (np. przyjęcia aksjomatu wyboru w celu ustalenia, który element zbioru jest dziedziną w niektórych przypadkach).

Funkcję można też zdefiniować jako parę   ale to również zawęzi nam definicję, gdyż zrekonstruowanie dziedziny z wykresu będzie wymagało np. przyjęcia aksjomat wyboru.

Spotyka się również definicje redukujące funkcję tylko do wykresu funkcji, jednak brak jawnego podania przeciwdziedziny nie pozwala stwierdzić czy funkcja jest surjekcją.

Powyższa definicja   ze względu na prostotę, pełność i ogólność spełnia wymogi współczesnej matematyki.

Notacja edytuj

W notacji zwykle rozdziela się definicję wykresu od dziedziny i przeciwdzidedziny np. „Dana jest funkcja   określona wzorem   „tu najpierw podano dziedzinę i przeciwdziedzinę, a następnie osobno zdefiniowano wykres poprzez formułę określającą jak wyznaczyć   (czyli  ) dla danego   by otrzymać parę   Pełny zapis (którego się nie stosuje w praktyce) dla tego przykładu wyglądałby tak:   (gdzie za   należało by podstawić konkretną formułę).

Jeżeli pomija się podanie dziedziny i przeciwdziedziny dla danej funkcji to oznacza, że należy wywieść te informacje z wykresu lub kontekstu – co często ma miejsce (i uzasadnia oddzielenie definicji wykresu w notacji).

Przykład 1 edytuj

Funkcje mające podobny wykres nie muszą być tożsame. Rozważmy taki przypadek czterech funkcji o podobnym lub identycznym wykresie (gdzie   to liczby rzeczywiste a   to dodanie liczby rzeczywiste):

  więc z definicji:  
  więc z definicji:  
  więc z definicji:  
  więc z definicji:  

mamy:     (bo każda jest inną trójką). Każda z funkcji ma inny charakter:   to suriekcja,   to bijekcja, k to iniekcja.

Przykład 2 edytuj

Poniżej kilka nietypowych/granicznych przypadków – kolumna po stronie lewej trójka f; w środku to interpretacja f jako funkcji w świetle formalnej definicji zapisana w tradycyjnej notacji; ostatnia kolumna to wyjaśnienie (  i   to dowolne nie puste zbiory,   to niepusty wykres)

zbiór tradycyjna notacja wyjaśnienie
    pusty wykres dzedzina, przeciw dziedzina i wykres są zbiorami pustymi
  to nie funkcja jeżeli dziedzina jest nie psuta to i wykres nie może być pusty
    pusty wykres dziedzina i wykres są zbiorami pustymi
  to nie funkcja jeżeli wykres jest niepusty to i dziedzina nie może być pusta
  to nie funkcja jeżeli wykres jest niepusty to i dziedzina nie może być pusta
  to nie funkcja przeciwdziedzina nie może być zbiorem pustym, bo z definicji funkcji wynika że dla każdego elementu niepustej dziedziny X musi istnieć dokładnie jeden element przeciwdziedziny.
  to nie funkcja jeżeli dziedzina jest nie psuta to i wykres nie może być pusty
    dziedzina jest równa przeciwdziedzinie
  to nie funkcja (przy założeniu ZF) wykres musiałby być tym samym co dziedzina   (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)
  to nie funkcja (przy założeniu ZF) wykres musiałby być tym samym co przeciwdziedzina   (co jest niemożliwe jeśli przyjmujemy aksjomatykę ZF, co zwykle ma miejsce)

Obraz i przeciwobraz edytuj

  • Zbiór   jest obrazem podzbioru   zbioru   w przekształceniu  [5],
  • dla każdego elementu   przeciwobrazem elementu   (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór   jeśli   to  [5],
  • przeciwobrazem podzbioru   nazywamy zbiór   jeżeli   to  [17].

Wykres funkcji edytuj

Osobny artykuł: wykres funkcji.

Wykresem funkcji   nazywa się zbiór   Z definicji funkcji wynika, że dla każdego   istnieje dokładnie jeden taki   że   Jeśli   jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli   to   przy czym   jest jedynym takim elementem.

Definicję relacyjną zaproponował Giuseppe Peano[2][18]; utożsamia ona funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości[potrzebny przypis].

Funkcje liczbowe edytuj

Ważną klasą funkcji są funkcje

  (zbiór   jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych[19].

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze   można zdefiniować działania arytmetyczne:

  • Dla   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   i   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  
  • Dla   i   funkcja   przyjmuje dla każdego   wartość  

Funkcja   jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia   że dla każdego   spełniona jest nierówność  

Jeśli funkcja liczbowa   przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

 

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych[19].

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

  gdzie   (jest to funkcja zespolona)
  gdzie   (jest to funkcja rzeczywista)[20]

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

  gdzie  
  gdzie  

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

  gdzie   są współrzędnymi punktu w   lub odpowiednio w  

Rodzaje funkcji liczbowych edytuj

Sposoby określania funkcji edytuj

Jeżeli dziedzina   jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów)[20].

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako   lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania  [20].

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

 

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:

 

albo w taki:

 

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane[21].

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji   w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie[21].

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru edytuj

  •   – funkcja liniowa
  •   – funkcja kwadratowa
  •   – funkcja wielomianowa
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
  •   – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Funkcja jako związek między zmiennymi edytuj

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi   i   gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru   a druga przyjmuje wartości ze zbioru   wtedy   nazywa się zmienną niezależną, a  zmienną zależną[22][23]. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej   oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej   oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej   Na przykład droga   w ruchu jednostajnym o prędkości   jest zależna od czasu   ruchu i wyraża się wzorem:

 

W praktyce często się zdarza, że zbiór   jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych   Mówimy wtedy, że zmienna   jest funkcją zmiennych   Na przykład siła   działająca na ciało jest zależna od masy   ciała i jego przyspieszenia  

 

Przykłady funkcji edytuj

W matematyce edytuj

Definicję funkcji spełniają na przykład:

W fizyce edytuj

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

W innych dziedzinach edytuj

Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:

Chemia:

Biologia:

Medycyna i fizjologia:

  • BMI – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
  • EKG i EEG – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:

Geografia społeczna, demografia i socjologia:

  • piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
  • opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:

Psychologia:

  • wyniki testów IQ są rosnącą funkcją czasu – efekt Flynna,
  • funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. dolina niesamowitości,
  • wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i EQ jest opisanych funkcją rozkładu normalnego.

Pojęcia edytuj

Złożenie. Iteracja edytuj

Osobny artykuł: złożenie funkcji.
 
Dwie funkcje   i   Ich złożenie przyjmuje wartości:
  @
  @
 
 

Mając dwie funkcje   i   można utworzyć funkcję złożoną   określoną wzorem  

Wielokrotne złożenie funkcji   nosi nazwę iteracji. Ściśle:  -tą iteracją funkcji   nazywa się funkcję

 

Funkcja odwrotna edytuj

Osobny artykuł: funkcja odwrotna.

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję   taką, że   którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenie edytuj

Osobny artykuł: Restrykcja funkcji.

Dla funkcji   można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru   Jest to funkcja   taka, że   dla każdego   Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f[24].

Jeżeli   jest funkcją, a   jest jej zawężeniem do zbioru   to dla dowolnego zbioru   mamy  

Z drugiej strony, dla   można przedłużyć funkcję   zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję   Można np. wymagać, by przedłużenie   funkcji   było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Rys historyczny edytuj

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta[d]. Terminu funkcja użył po raz pierwszy[25] Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach[26]. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n „dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych”[e][27]. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i   a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych[28].

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę   zapisując argument jeszcze bez nawiasów   Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

  1. Od fungor, functus sum, fungi „wykonać, wypełnić, zwolnić”.
  2. W Słowniku języka polskiego, PWN, 1996: ustalić relację między czymś a czymś, uczynić zależnym od czegoś...
  3. Tej szerokiej definicji używali m.in. Giuseppe Peano oraz Kazimierz Kuratowski i Andrzej Mostowski w swojej książce cytowanej poniżej.
  4. Dokładniej, po łacinie, fluentes quantitates.
  5. ...positio n esse quantitatem quomodocunque formatam ex indeterminatis et constantibus.

Przypisy edytuj

  1. odwzorowanie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-22].
  2. a b c d e f g h Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 73.
  3. przekształcenie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-22].
  4.   transformacja (w matematyce) [w:] Wielki słownik języka polskiego [online], Instytut Języka Polskiego PAN [dostęp 2023-12-23].
  5. a b c Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 21.
  6. a b c Funkcja, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22].
  7. zmienna zależna, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-22].
  8. jednoznaczność, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-22].
  9. Moszner 1974 ↓, s. 81.
  10. równoliczność zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-23].
  11. N. Bourbaki, Théorie des ensembles, Paryż: Difussion C.C.L.S., 1970, s. 64, ISBN 2-903684-003-0 (fr.).
  12. Charles C.Pinter, A Book of Set Theory, Nowy Jork: Dover Ppublications, INC, 2014, s. 52, 53, ISBN 0-486-49708-9 (ang.).
  13. Horst Herrlich, George E. Strecker, Category Theory. Third Edition, Heldermann Verlag, 2007, s. 2 (przypis), ISBN 978-3-88538-001-6 (ang.).
  14. Ali Nesin, Foundations of Mathematics I, Set Theory, Mathematics Department Istanbul Bilgi University, Stambuł 2004, s. 35 (ang.).
  15. R. Mayer, Math 111 Calculus 1, Reed College, 2007, s. 67 (58) (ang.).
  16. Reinhard Schultz, Mathematics 144 Set Theory, Department of Mathematics University of California, Riverside, California 2012, s. 63 (ang.).
  17. Kołmogorow i Fomin 1989 ↓, s. 22.
  18. G. Peano, Sulla definizione di funzione, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, 20 (1911), s. 3–5.
  19. a b Winogradow 1985 ↓, s. 715.
  20. a b c Winogradow 1985 ↓, s. 716.
  21. a b Winogradow 1985 ↓, s. 717.
  22. zmienna niezależna, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-04-12].
  23. Kuratowski 1967 ↓, s. 60.
  24. Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 75.
  25. Juszkiewicz, Historia matematyki od starożytności do początku XIX wieku, s. 144, Moskwa, 1970, jęz. rosyjski.
  26. Gottfried Wilhelm Leibniz, Methodus tangentium inversa, seu de functionibus 1673.
  27. Juszkiewicz, op. cit., s. 146.
  28. Johann Bernoulli: Opera Omnia. T. II. Lausannae-Genevae: 1742, s. 241.

Bibliografia edytuj

Literatura dodatkowa edytuj

Linki zewnętrzne edytuj

  • Eric W. Weisstein, Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-12-23].