Funkcja

Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów $X$ i $Y$ przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru $X$ dokładnie jednego elementu zbioru $Y$. Oznacza się ją na ogół $f,g,h$ itd.

Jeśli funkcja $f$ przyporządkowuje elementom zbioru $X$ elementy zbioru $Y,$ to zapisujemy to następująco:

$f\colon X\to Y.$

Zbiór $X$ nazywa się dziedziną, a zbiór $Y$ – przeciwdziedziną funkcji $f.$ Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru $X$ do zbioru $Y$ oznacza się często $Y^{X}$. Ponadto:

• dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f,
• przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji, chociaż właściwszym stwierdzeniem jest: przeciwdziedzina zawiera w sobie zbiór wartości funkcji,
• każdy element $x$ zbioru $X$ nazywa się argumentem funkcji,
• każdy element $y=f(x)$ nazywa się wartością funkcji,
• mówi się także, że $f$ jest przekształceniem lub odwzorowaniem zbioru $X$ w zbiór $Y$,
• zbiór $f(A)=\{y=f(x)\colon x\in A\}$ jest obrazem podzbioru $A$ zbioru $X$ w przekształceniu $f$,
• dla każdego elementu $b\in f(X)$ przeciwobrazem elementu $b$ (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór $f^{-1}(b)=\{a\in X\colon f(a)=b\};$ jeśli $b\notin f(X),$ to $f^{-1}(b)=\varnothing$.
• przeciwobrazem podzbioru $B\subset Y$ nazywamy zbiór $f^{-1}(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\};$ jeżeli $B\cap f(X)=\varnothing ,$ to $f^{-1}(B)=\varnothing$

Wykres funkcji

Wykresem funkcji $f\colon X\to Y$ nazywa się zbiór $W_{f}=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}.$ Z definicji funkcji wynika, że dla każdego $x_{0}\in X$ istnieje dokładnie jeden taki $y_{0}\in Y,$ że $(x_{0},y_{0})\in W_{f}.$ Jeśli $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli $(x_{0},y_{0})\in W_{f},$ to $y_{0}=f(x_{0}),$ przy czym $y_{0}$ jest jedynym takim elementem.

Definicja Peana funkcji (za pomocą wykresu)

W teorii mnogości często stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peana:

Relacja $R\subset X\times Y$ jest funkcją, jeśli:

$\forall _{x\in X}\exists _{y\in Y}xRy$,

$\forall _{x\in X,y_{1},y_{2}\in Y}[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})].$

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

Funkcje liczbowe

Ważną klasą funkcji są funkcje

$f\colon X\to \mathbb {C}$ (zbiór $\mathbb {C}$ jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych.

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze $X$ można zdefiniować działania arytmetyczne:

• Dla $f,g\colon X\to Y$ funkcja $f+g$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $f(x)+g(x).$
• Dla $f,g\colon X\to Y$ funkcja $f-g$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $f(x)-g(x).$
• Dla $f,g\colon X\to Y$ funkcja $f\cdot g$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $f(x)\cdot g(x).$
• Dla $f,g\colon X\to Y$ i $\forall _{x\in X}g(x)\neq 0$ funkcja $f/g$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $f(x)/g(x).$
• Dla $f\colon X\to Y$ i $\lambda \in \mathbb {C}$ funkcja $\lambda \cdot f$ przyjmuje dla każdego $x\in X$ wartość $\lambda \cdot f(x).$

Funkcja $f$ jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia $M,$ że dla każdego $x\in X$ spełniona jest nierówność $|f(x)|<M.$

Jeśli funkcja liczbowa $f$ przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

$f\colon X\to \mathbb {R} ,$

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych.

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

$f\colon X\to \mathbb {C} ,$ gdzie $X\subset \mathbb {C}$ (jest to funkcja zespolona)

$f\colon X\to \mathbb {R} ,$ gdzie $X\subset \mathbb {R}$ (jest to funkcja rzeczywista)

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

$f\colon X\to \mathbb {C} ,$ gdzie $X\subset \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \ldots \times \mathbb {C} } _{n},$

$f\colon X\to \mathbb {R} ,$ gdzie $X\subset \mathbb {R} ^{n}=\underbrace {\mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} } _{n},$

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

$y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ gdzie $x_{1},...,x_{n}$ są współrzędnymi punktu w $\mathbb {R} ^{n}$ lub odpowiednio w $\mathbb {C} ^{n}.$

Rodzaje funkcji liczbowych

• funkcja rosnąca;
• funkcja malejąca;
• funkcja nierosnąca;
• funkcja niemalejąca;
• funkcja monotoniczna – funkcja rosnąca lub funkcja malejąca, lub funkcja nierosnąca, lub funkcja niemalejąca;
• funkcje ograniczone – funkcja, której zbiór wartości jest ograniczony;
• funkcja parzysta – wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych;
• funkcja nieparzysta – wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;
• funkcja okresowa;
• funkcja ciągła;
• funkcja różniczkowalna – funkcja, dla której istnieje pochodna w każdym punkcie jej dziedziny.

Sposoby określania funkcji

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru $X$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru $Y.$ Dwóm różnym elementom w $X$ może odpowiadać ten sam element $Y.$ Nie każdy element zbioru $Y$ musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina $X$ jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów).

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako $y=f(x)$ lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania $F(x,y)=0$.

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:

$f(x)={\begin{cases}3^{x},&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\2x-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}}.$

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:

$sgn(x)={\begin{cases}1,&{\text{gdy }}x>0\\0,&{\text{gdy }}x=0\\-1&{\text{gdy }}x<0\end{cases}},$

albo w taki:

$sgn(x)={\begin{cases}{\frac {x}{|x|}},&{\text{gdy }}x\neq 0\\0,&{\text{gdy }}x=0\end{cases}}.$

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane.

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie.

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru

• $y=ax+b$ – funkcja liniowa
• $y=ax^{2}+bx+c$ – funkcja kwadratowa
• $y=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$ – funkcja wielomianowa
• $y=1+{\sqrt {\ln {\sin {2\pi x}}}}$
• $P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}$
• $I(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin \beta x}{x}}dx$
• $\sigma (z)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}$
• $y-f(x)=0$ – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
• $x^{2}+y^{2}-1=0$ – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Funkcja jako związek między zmiennymi

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi $x$ i $y,$ gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru $X,$ a druga przyjmuje wartości ze zbioru $Y;$ wtedy $x$ nazywa się zmienną niezależną, a $y$ – zmienną zależną. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej $x$ oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej $y$ oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej $x.$ Na przykład droga $s$ w ruchu jednostajnym o prędkości $v$ jest zależna od czasu $t$ ruchu i wyraża się wzorem:

$s=v\cdot t.$

W praktyce często się zdarza, że zbiór $X$ jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych $x_{1},...,x_{n}.$ Mówimy wtedy, że zmienna $y$ jest funkcją zmiennych $x_{1},...,x_{n}.$ Na przykład siła $F$ działająca na ciało jest zależna od masy $m$ ciała i jego przyspieszenia $a{:}$

$F=m\cdot a.$

Przykłady funkcji

W matematyce

Definicję funkcji spełniają na przykład:

• działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Można je traktować jako funkcje liczbowe dwóch lub większej liczby zmiennych.
• Jednoargumentowe działania na liczbach: zaokrąglanie, podłoga i sufit oraz część ułamkowa, wartość bezwzględna, liczba przeciwna (przykład funkcji liniowej), liczba odwrotna (przykład funkcji wymiernej),
• średnie: arytmetyczna, geometryczna i inne. To funkcje dwóch lub dowolnej liczby zmiennych. Można je traktować jako funkcje na ciągach lub multizborach liczb.
• inne funkcje statystyczne, np. mediana, moda, minimum i maksimum,
• funkcje teorioliczbowe: największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb całkowitych,
• przekształcenia geometryczne: odbicie względem prostej lub punktu i inne symetrie, obrót względem punktu lub osi, jednokładność, dylatacja, inwersja i wiele innych,
• odległość między punktami (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma),
• Średnica zbioru – funkcja ze zbioru potęgowego dowolnej przestrzeni metrycznej,
• długość linii (łamanej lub ogólnie krzywej), w szczególności obwód dla krzywych zamkniętych,
• pole powierzchni, objętość, prawdopodobieństwo i inne przykłady miary.
• działania na zdaniach lub formułach: negacja, implikacja, alternatywa, alternatywa rozłączna, koniunkcja, dysjunkcja, równoważność,
• same formuły zdaniowe: przyporządkowanie termom zdania,
• wartość logiczna,
• działania na zbiorach,
• działania na ciągach skończonych, jak permutacja (np. inwersja) oraz konkatenacja,
• układ współrzędnych to funkcja z przestrzeni geometrycznej (zwłaszcza rozmaitości) w przestrzeń kartezjańską.

W fizyce

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

• Jednostki fizyczne są często funkcjami liniowymi innych jednostek, np. temperatura w skali Fahrenehita jest liniową funkcją tej Celsjusza.
• Czasami jednostki są logarytmicznymi funkcjami innych jednostek, np. poziom natężenia dźwięku, wysokość dźwięku, jasność absolutna,
• W statyce: przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego masy oraz środka masy. Zgodnie z prawem Hooke’a siła nacisku lub naciągu jest proporcjonalna do odkształcenia ciała (dla odpowiednio małych wartości tych parametrów). To funkcje liniowe siebie nawzajem. Ich zależność opisują współczynnik sprężystości, moduł Younga i inne. Tarcie jest liniową funkcją siły nacisku.
• W kinematyce: ruch ciał fizycznych opisywany jest przez wektor położenia lub przemieszczenia ${\vec {r}}$ oraz skalary odległości lub drogi s. Wszystkie są funkcjami czasu. Ta pierwsza to tzw. trajektoria lub linia świata. Na ich podstawie są oparte inne funkcje czasu: prędkość i przyspieszenie.
• W dynamice: pęd jest funkcją dwóch zmiennych: masy i prędkości, przy czym obydwie mogą być funkcjami czasu. Siła okazuje się pochodną pędu po czasie (II zasada dynamiki). Praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała, a energia może być zależna od różnych wielkości. Energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T
• W bardziej zaawansowanej mechanice definiuje się też inne wielkości dynamiczne: lagranżjan, działanie i hamiltonian, które też są funkcjami mas, położeń i prędkości.
• Liczne pola fizyczne: funkcje z przestrzeni lub czasoprzestrzeni w zbiór skalarów, wektorów, tensorów itp.
• prąd jest funkcją napięcia – w prostych wypadkach opisywaną przez prawo Ohma.
• W termodynamice: objętość ciał oraz ich gęstość jest funkcją temperatury – rozszerzalność cieplna
• W mechanice kwantowej wektor stanu bywa funkcją, a konkretniej zespolonym polem skalarnym – tzw. funkcja falowa.
• Tensory: formy wieloliniowe, czyli funkcje wielu wektorów i kowektorów. Są używane w statyce (wytrzymałość materiałów), w optyce (dwójłomność) oraz w ogólnej teorii względności Einsteina.

W innych dziedzinach

Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:

• położenie ciał niebieskich na niebie (współrzędne astronomiczne) jest funkcją czasu oraz współrzędnych geograficznych,
• okres obiegu planety wokół Słońca jest malejącą funkcją promienia jej orbity, zgodnie z III prawem Keplera,
• jasność obserwowana gwiazdy jest funkcją jej jasności absolutnej i odległości od obserwatora,
• krzywa rotacji galaktyki – prędkość gwiazdy względem galaktyki jest funkcją odległości od jej środka,
• przesunięcie ku czerwieni widm odległych galaktyk jest funkcją ich odległości od Ziemi – zgodnie z prawem Hubble’a,
• Diagram HR opisuje moc promieniowania i temperaturę gwiazdy w funkcji czasu.

Chemia:

• Przykładowo liczba atomowa, blok, grupa i okres w UOP albo liczba elektronów walencyjnych to funkcje na zbiorze pierwiastków chemicznych. Ta pierwsza jest różnowartościowa, a pozostałe – nie.
• liczba masowa i liczba neutronowa to funkcje na zbiorze nuklidów (wszystkie izotopy wszystkich pierwiastków),
• masa cząsteczkowa – funkcja na zbiorze molekuł albo związków,
• jądro lustrzane – bijekcja w zbiorze nuklidów,
• odbicie lustrzane – bijekcja w zbiorze cząsteczek chiralnych,
• własności makroskopowe subtancji jak temperatura wrzenia, temperatura topnienia itp.,
• skala pH jest logarytmiczną funkcją altywności jonów hydroniowych.

Biologia:

• Przykładem nieliczbowej funkcji jest kod genetyczny. Zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta nie może być funkcją różnowartościową, czyli innymi słowy jest zdegenerowany.
• mutacje genowe – zmiana sekwencji nukleotydów, np. substytucja, delecja, insercja,
• komplementarny nukleotyd lub cała nić DNA,
• krzywa wzrostu i inne parametry populacji.

Medycyna i fizjologia:

• BMI – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
• EKG i EEG – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:

• wysokość bezwzględna, temperatura, ciśnienie atmosferyczne, a dla zbiorków wodnych zasolenie – funkcje współrzędnych geograficznych. To przykłady funkcji wielu zmiennych – konkretniej pól skalarnych.
• Temperatura i ciśnienie są też funkcją współrzędnych geograficznych i wysokości bezwzględnej,
• średnia temperatura atmosfery ziemskiej jest od XX w. funkcją rosnącą – globalne ocieplenie.

Geografia społeczna, demografia i socjologia:

• piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
• opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:

• funkcje podaży i popytu,
• cena, np. kurs walutowy,
• rozmaite parametry gospodarki: PKB, inflacja, dług publiczny, HDI itd. Można je traktować jako funkcje na zbiorze państw, a dla danego państwa: funkcje od czasu.
• Liczne krzywe ekonomiczne, np. Laffera i Phillipsa

Psychologia:

• wyniki testów IQ są rosnącą funkcją czasu – efekt Flynna,
• funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. dolina niesamowitości,
• wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i EQ jest opisanych funkcją rozkładu normalnego.

Pojęcia

Złożenie. Iteracja

Dwie funkcje $f$ i $g.$ Ich złożenie przyjmuje wartości:
$(g\circ f)(\mathrm {a} )=$ @
$(g\circ f)(\mathrm {b} )=$ @
$(g\circ f)(\mathrm {c} )=\#$
$(g\circ f)(\mathrm {d} )=\ !!$

Mając dwie funkcje $f\colon X\to Y$ i $g\colon Y\to Z,$ można utworzyć funkcję złożoną $(g\circ f)\colon X\to Z$ określoną wzorem $(g\circ f)(x)=g{\Big (}f(x){\Big )}.$

Wielokrotne złożenie funkcji $f\colon X\to X$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: $n$-tą iteracją funkcji $f$ nazywa się funkcję

$f^{n}={\begin{matrix}\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}.$

Funkcja różnowartościowa

Funkcję $f\colon X\to Y$ nazywa się funkcją różnowartościową lub iniekcją, gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości, tzn. dla dowolnych dwóch $x_{1},x_{2}\in X$ zachodzi warunek

$x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$ lub równoważnie $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}.$

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x+5.$

Funkcja „na”

Funkcję $f\colon X\to Y$ nazywa się funkcją „na” lub suriekcją, jeżeli jej przeciwdziedzina $Y$ jest równocześnie jej zbiorem wartości funkcji. Oznacza to, że dla każdego $y\in Y$ istnieje co najmniej jeden taki $x\in X,$ że $f(x)=y.$

Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i „na” nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją. Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu $x\in X$ dokładnie jedno $y\in Y$ (i na odwrót). Bijekcja $f\colon X\to Y$ może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory $X$ i $Y$ mają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję $f\colon X\to X$ nazywa się permutacją.

Funkcja odwrotna

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję $f^{-1}\colon Y\to X$ taką, że $(f\circ f^{-1})(x)=x,$ którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenie

Dla funkcji $f\colon X\to Y$ można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru $M\subseteq X.$ Jest to funkcja $f|_{M}\colon M\to Y$ taka, że $f|_{M}(x)=f(x)$ dla każdego $x\in M.$ Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f.

Jeżeli $f\colon X\to Y$ jest funkcją, a $f|_{M}\colon M\to Y$ jest jej zawężeniem do zbioru $M\subset X,$ to dla dowolnego zbioru $B\subset Y$ mamy $\left(f|_{M}\right)^{-1}(B)=M\cap f^{-1}(B).$

Z drugiej strony, dla $M\subset X,$ można przedłużyć funkcję $f\colon M\to Y$ zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję $g\colon X\to Y.$ Można np. wymagać, by przedłużenie $g$ funkcji $f$ było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Rys historyczny

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta. Terminu funkcja użył po raz pierwszy Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n „dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych”. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i $\xi ,$ a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

Definicja. Funkcją wielkości zmiennej nazywa się tutaj wielkość utworzoną w jakikolwiek sposób z tej wielkości zmiennej i stałych.

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę $\varphi ,$ zapisując argument jeszcze bez nawiasów $\varphi x.$ Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Zobacz też

• funkcja kardynalna
• funkcja zdaniowa
• rachunek lambda
• symbol funkcyjny

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1966.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: PWN, 1968. ISBN 83-01-13949-8.
• Andriej Kołmogorow, Sergei Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej. Moskwa: Mir, 1989. (ros.)
• Iwan Winogradow: Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985. (ros.)
• Juszkiewicz: Historia matematyki od Starożytności do początku XIX wieku. T. 2. Warszawa: PWN, 1976.