Funkcja π

Funkcja π – funkcja używana w teorii liczb.

Dla danej liczby rzeczywistej $x,$ wartość $\pi (x)$ jest liczbą liczb pierwszych nie większych od $x$.

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych.

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Właściwości

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji π to:

• $\pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}$ dla $x\geqslant 17.$

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż ${\frac {x}{\ln(x)}}$ jest przybliżeniem wartości funkcji

• $\pi (x)<1{,}25506{\frac {x}{\ln x}}$ dla $x>1,$
• ${\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}$ dla $x\geqslant 55.$

Ponadto:

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,$
• $\lim _{x\to \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1,$

gdzie $\operatorname {li}$ jest logarytmem całkowym.

Zobacz też

• funkcja φ