Funkcja licząca liczby pierwsze

Funkcja π – funkcja używana w teorii liczb.

Dla danej liczby rzeczywistej $x,$ wartość $\pi (x)$ jest liczbą liczb pierwszych nie większych od $x$.

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych.

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Właściwości

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji $\pi$ to:

• $\pi (x)>{\frac {x}{\ln x}}$ dla $x\geqslant 17.$

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż ${\frac {x}{\ln(x)}}$ jest przybliżeniem wartości funkcji

• $\pi (x)<1{,}25506{\frac {x}{\ln x}}\quad {}$ dla $x>1,$
• ${\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}\quad {}$ dla $x\geqslant 55.$

Ponadto:

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,$
• $\lim _{x\to \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1,$

gdzie $\operatorname {li}$ jest logarytmem całkowym.

Funkcja f(x) Riemanna

Bernhard Riemann w swojej pracy zdefiniował funkcję $f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ w postaci:

$f(x)=\sum _{n=1}^{\alpha }{\frac {1}{n}}\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi \left(x^{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\pi \left(x^{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +{\frac {1}{\alpha }}\pi \left(x^{\frac {1}{\alpha }}\right),$

gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast $\alpha =\lfloor \log _{2}(x)\rfloor .$ Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tą samą własność co funkcja $\pi (x).$ Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.

Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji $f(x),$ składającej się z kilku członów.

$f(x)=Li(x)-\sum _{\nu }\left(Li\left(x^{{\frac {1}{2}}+\sigma _{\nu }i}\right)+Li\left(x^{{\frac {1}{2}}-\sigma _{\nu }i}\right)\right)+\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t^{2}-1}}\,{\frac {dt}{t\ln {t}}}+\ln(\zeta (0)).$

Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna $\zeta (z),$ dla których spełniona jest zależność:

$\zeta \left({\frac {1}{2}}\pm \sigma _{\nu }i\right)=0,\quad {}$ $\sigma _{\nu }=\{{14{,}1347,21{,}0220,25{,}0108,...}\},$

przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi $x={\tfrac {1}{2}}$ w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy $\Sigma _{\nu }$ znosi się wzajemnie.

Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami $x.$ Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$10$	$100$	$1000$	$10\ 000$
$\int$	$\infty$	$0{,}140$	$0{,}040$	$0{,}018$	$0{,}010$	$0{,}001$	$9{,}875\cdot 10^{-6}$	$6{,}777\cdot 10^{-8}$	$5{,}162\cdot 10^{-10}$

Ostatni składnik to stała równa $\ln(\zeta (0))=-\ln(2).$

Definicja funkcji liczby liczb pierwszych π(x) za pomocą f(x)

Kolejne przybliżenia funkcji $\pi (x)$ (zaznaczonej na czerwono) z uwzględnieniem coraz większej ilości nietrywialnych zer (niebieski kolor).

Korzystając z transformacji Möbiusa można przedstawić $\pi (x)$ za pomocą funkcji $f(x)$ Riemanna:

$\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}f\left(x^{\frac {1}{n}}\right),$

gdzie $\mu (n)$ jest funkcją Möbiusa. Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.

Funkcja π Riemanna

Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci $f(x)=Li(x),$ wtedy taką funkcję nazywa się funkcją $\Pi (x)$ Riemanna:

$\Pi (x)\approx \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}Li\left(x^{\frac {1}{n}}\right).$

Zobacz też

• funkcja φ