Funkcja licząca liczby pierwsze

liczba liczb pierwszych nie większych od danej
(Przekierowano z Funkcja π)

Funkcja πfunkcja używana w teorii liczb[1][2].

Dla danej liczby rzeczywistej wartość jest liczbą liczb pierwszych nie większych od [1][2].

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych[1].

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Właściwości[1]Edytuj

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji   to:

  •   dla  

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż   jest przybliżeniem wartości funkcji

  •   dla  
  •   dla  

Ponadto:

  •  
  •  

gdzie   jest logarytmem całkowym.

Funkcja f(x) RiemannaEdytuj

Bernhard Riemann w swojej pracy[3] zdefiniował funkcję   w postaci:

 

gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast   Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tą samą własność co funkcja   Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.

Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji   składającej się z kilku członów.

 

Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna   dla których spełniona jest zależność:

   

przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi   w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy   znosi się wzajemnie.

Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami   Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.

                   
                   

Ostatni składnik to stała równa  

Definicja funkcji liczby liczb pierwszych π(x) za pomocą f(x)Edytuj

 
Kolejne przybliżenia funkcji   (zaznaczonej na czerwono) z uwzględnieniem coraz większej ilości nietrywialnych zer (niebieski kolor).

Korzystając z transformacji Möbiusa można przedstawić   za pomocą funkcji   Riemanna:

 

gdzie   jest funkcją Möbiusa. Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.

Funkcja π RiemannaEdytuj

Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci   wtedy taką funkcję nazywa się funkcją   Riemanna:

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d Eric W. Weisstein, Prime Counting Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).
  2. a b Prime counting function: Primary definition, functions.wolfram.com [dostęp 2017-10-13].
  3. G.F.B. Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse., listopad 1859 (niem.).