Funkcja σ

funkcja matematyczna

Funkcja σ (sigma), niekiedy – funkcja określona dla liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników danej liczby.

Przykładowo:

Sumę -tych potęg dzielników oznacza się przez na przykład to liczba dzielników danej liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie nazywa się liczbami doskonałymi, nierówność nadmiernymi, a nierówność deficytowymi.

TwierdzenieEdytuj

Jeśli   ma rozkład na czynniki pierwsze postaci   to

 

DowódEdytuj

Każdy dzielnik naturalny liczby   można przestawić w postaci:

 

gdzie:

 
(1)

Ponieważ różnym układom liczb   spełniającym (1) odpowiadają różne dzielniki   więc:

 
(2)

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające (1).

Każdy składnik sumy (2) występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:

 

Z kolei  -ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumą szeregu geometrycznego o ilorazie   więc

 

Stąd teza.

BibliografiaEdytuj

  • Wacław Sierpiński: Teoria liczb. Warszawa, Wrocław: 1950, s. 113–116, seria: „Monografie Matematyczne” (19). [dostęp 5 stycznia 2009].
  • Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 121–122, seria: Biblioteka Matematyczna tom 7.