Funkcja τ

Funkcja τ (tau) – funkcja w teorii liczb równa funkcji σ stopnia zerowego. Wartość tej funkcji oznacza liczbę dzielników danej liczby naturalnej.

Wykres funkcji dla argumentów od 1 do 250

Definicja

Dla dowolnej liczby $n\in \mathbb {N}$ funkcja $\tau (n)$ określona jest jako:

$\tau (n):=|\{d\in \mathbb {N} :d|n\}|.$

Wzór można też zapisać inaczej:

$\tau (n)\equiv \sigma _{0}(n)=\sum _{d|n}1.$

Wiedząc, że funkcja ta jest multiplikatywna oraz że dla dowolnej liczby pierwszej $p$ i dowolnej liczby całkowitej nieujemnej $a$ zachodzi:

$\tau (p^{a})=a+1,$

(ponieważ dzielnikami liczby $p^{a}$ są: $1,p,p^{2},\dots ,p^{a}$) otrzymujemy wzór ogólny dla funkcji $\tau (n).$

Niech $n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{e_{i}},$

gdzie:

$m$ – liczba czynników pierwszych,

$e_{i}$ – wykładniki w rozkładzie na czynniki pierwsze,

$p_{i}$ – parami różne czynniki pierwsze.

Wtedy:

$\tau (n)=\prod _{i=1}^{m}(e_{i}+1).$

Przykład

Jeśli $n=24,$ to mamy dwa dzielniki pierwsze: $p_{1}=2,p_{2}=3,$ ponieważ $24=2^{3}\cdot 3^{1},$ czyli $e_{1}=3,e_{2}=1.$ Można zatem obliczyć $\tau (24)$ w sposób następujący:

$\tau (24)=\prod _{i=1}^{2}(e_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.$

Faktycznie, zbiór dzielników liczby 24 to zbiór $\{1,2,4,8,3,6,12,24\},$ którego moc wynosi 8.

Pierwsze wartości przyjmowane przez funkcję (ciąg A000005 w OEIS) to:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Dzielniki liczby $n$	1	1, 2	1, 3	1, 2, 4	1, 5	1, 2, 3, 6	1, 7	1, 2, 4, 8	1, 3, 9	1, 2, 5, 10	1, 11	1, 2, 3, 4, 6, 12
$d(n)$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4	2	6