Funkcja τ
Funkcja τ (tau) – funkcja na zbiorze dodatnich liczb naturalnych, używana w teorii liczb. Jej wartość to liczba dzielników danej liczby[1][2].
Dla dowolnej liczby funkcja określona jest jako:
Wzór można też zapisać inaczej:
Uogólnieniem funkcji tau są funkcje σ (sigma); funkcja tau to funkcja sigma stopnia zerowego[potrzebny przypis].
Własności
edytujWiedząc, że funkcja ta jest multiplikatywna[1] oraz że dla dowolnej liczby pierwszej i dowolnej liczby całkowitej nieujemnej zachodzi[3]:
(ponieważ dzielnikami liczby są: ) otrzymujemy wzór ogólny dla funkcji
Niech
gdzie:
- – liczba czynników pierwszych,
- – wykładniki w rozkładzie na czynniki pierwsze,
- – parami różne czynniki pierwsze.
Wtedy[2]:
Przykład
edytujJeśli to mamy dwa dzielniki pierwsze: ponieważ czyli Można zatem obliczyć w sposób następujący:
Faktycznie, zbiór dzielników liczby 24 to zbiór którego moc wynosi 8.
Pierwsze wartości przyjmowane przez funkcję (ciąg A000005 w OEIS) to:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Dzielniki liczby | 1 | 1, 2 | 1, 3 | 1, 2, 4 | 1, 5 | 1, 2, 3, 6 | 1, 7 | 1, 2, 4, 8 | 1, 3, 9 | 1, 2, 5, 10 | 1, 11 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 6 |
Przypisy
edytuj- ↑ a b Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, wyd. 3., Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 98, 110, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-07] .
- ↑ a b Adam Neugebauer , Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 2, t. 143–144, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-07] .
- ↑ Eric W. Weisstein , Divisor Function [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-07-07] (ang.).