Funkcja τ

liczba dzielników danej liczby naturalnej

Funkcja τ (tau) – funkcja w teorii liczb równa funkcji σ stopnia zerowego. Wartość tej funkcji oznacza liczbę dzielników danej liczby naturalnej[1][2].

Wykres funkcji dla argumentów od 1 do 250

DefinicjaEdytuj

Dla dowolnej liczby   funkcja   określona jest jako:

 

Wzór można też zapisać inaczej:

 

Wiedząc, że funkcja ta jest multiplikatywna[1] oraz że dla dowolnej liczby pierwszej   i dowolnej liczby całkowitej nieujemnej   zachodzi[3]:

 

(ponieważ dzielnikami liczby   są:  ) otrzymujemy wzór ogólny dla funkcji  

Niech  

gdzie:

  – liczba czynników pierwszych,
  – wykładniki w rozkładzie na czynniki pierwsze,
  – parami różne czynniki pierwsze.

Wtedy[2]:

 

PrzykładEdytuj

Jeśli   to mamy dwa dzielniki pierwsze:   ponieważ   czyli   Można zatem obliczyć   w sposób następujący:

 

Faktycznie, zbiór dzielników liczby 24 to zbiór   którego moc wynosi 8.

Pierwsze wartości przyjmowane przez funkcję (ciąg   A000005 w OEIS) to:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Dzielniki liczby   1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
  1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

PrzypisyEdytuj

  1. a b Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, wyd. 3., Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 98, 110, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-07].
  2. a b Adam Neugebauer, Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 2, t. 143–144, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-07].
  3. Eric W. Weisstein, Divisor Function, mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-07-07] (ang.).