Funkcja Cantora

Funkcja Cantora (zwana również diabelskimi schodami), nazwana od Georga Cantora, jest jednym z przykładów funkcji osobliwej, czyli funkcji ciągłej, ale nie bezwzględnie ciągłej.

Wykres funkcji Cantora

Formalnie funkcję Cantora definiuje się następująco:

  1. Wyrażamy w systemie liczbowym o podstawie 3.
  2. Jeśli występuje przynajmniej jedna jedynka, to wszystkie cyfry po pierwszej jedynce zamieniamy na zera.
  3. Zamieniamy wszystkie dwójki na jedynki.
  4. Interpretujemy wynik jak liczbę dwójkową.

Przykłady:

  • 1/4 staje się 0,02020202... w systemie o podstawie 3; ponieważ nie występuje tu cyfra 1, w kolejnym kroku mamy nadal 0,02020202...; przepisujemy to na 0,01010101...; czytając to jako liczbę o podstawie 2 dostajemy 1/3, zatem (1/4) = 1/3.
  • 1/5 staje się 0,01210121... w systemie o podstawie 3; wszystkie cyfry po pierwszej 1 zamieniamy na 0, co daje 0,01000000...; przepisujemy to na 0,01000000...; czytając to jako liczbę o podstawie 2 dostajemy 1/4, zatem (1/5) = 1/4.

WłaściwościEdytuj

Funkcja Cantora jest wyzwaniem dla naiwnego intuicyjnego pojmowania ciągłości funkcji oraz pojęcia miary. Pomimo iż jest ona wszędzie ciągła i prawie wszędzie posiada zerową pochodną,   przechodzi od 0 do 1 w miarę jak   przechodzi od 0 do 1, i przyjmuje każdą wartość pośrednią. Funkcja Cantora jest najczęściej podawanym przykładem funkcji rzeczywistej, która jest jednostajnie ciągła (a więc ciągła), lecz nie bezwzględnie ciągła. Nie posiada ona bowiem pochodnej w żadnym punkcie zbioru Cantora, jest stała w przedziałach postaci     a każdy punkt nienależący do zbioru Cantora leży w jednym z tych przedziałów. Tak więc jej pochodna jest równa 0 poza zbiorem Cantora.

Po rozszerzeniu wartości 0 zero z lewej i 1 z prawej, funkcja ta staje się dystrybuantą prawdopodobieństwa zmiennej losowej równomiernie rozłożonej nad zbiorem Cantora. Taki rozkład prawdopodobieństwa (zwany rozkładem Cantora) nie posiada żadnej dyskretnej składowej. To znaczy, że miara jej odpowiadająca jest bezatomowa. Dlatego też nie ma przeskoków nieciągłości w funkcji; każdy taki przeskok odpowiadałby atomowi w mierze. Jednakże żaden z niestałych fragmentów rozkładu Cantora nie może być również przedstawiony jako całka funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Całkując dowolną funkcję gęstości prawdopodobieństwa, która nie jest prawie wszędzie równa zero, na dowolnym przedziale, da nam dodatnie prawdopodobieństwo dla pewnego przedziału, któremu rozkład Cantora przydziela prawdopodobieństwo zerowe.

Funkcja Cantora jest klasycznym przykładem funkcji osobliwej.

Funkcja Cantora jest funkcją monotonicznie niemalejącą, co pociąga za sobą że jej wykres jest krzywą prostowalną. Długość łuku wykresu wynosi 2.

Inne definicjeEdytuj

Konstrukcja iteracyjnaEdytuj

Poniżej definiujemy ciąg funkcji   na przedziale jednostkowym, zbieżny do funkcji Cantora.

Niech  

Następnie dla każdej liczby całkowitej   kolejną funkcję   wyrażamy za pomocą   następująco:

 

Powyższe trzy przyporządkowania są zgodne w punktach granicznych 1/3 oraz 2/3, gdyż   i   dla każdego   poprzez indukcję. Można sprawdzić, że   jest zbieżne punktowo do funkcji Cantora zdefiniowanej powyżej. Ponadto zbieżność ta jest jednostajna. W szczególności rozdzielając na trzy przypadki zgodnie z definicją dla   dostrzegamy, że:

 

Jeśli   oznacza funkcję graniczną, to wnioskujemy że dla każdego  

 

Ponadto zwrócić należy uwagę, że wybór funkcji początkowej nie jest istotny, zakładając że     oraz   jest ograniczona.

Objętość fraktalnaEdytuj

Funkcja Cantora jest blisko spokrewniona ze zbiorem Cantora. Zbiór Cantora   może zostać określony jako zbiór tych liczb przedziału [0, 1], które nie zawierają cyfry 1 w rozwinięciu trójkowym (z wyjątkiem liczb zawierających tylko jedną cyfrę 1, po której występują same 0; można wtedy ciąg cyfr 1000... zastąpić ciągiem 0222..., co pozwoli pozbyć się jedynek bez zmiany wartości liczby). Okazuje się, że zbiór Cantora jest fraktalem z (nieprzeliczalnie) nieskończenie wieloma punktami (zero-wymiarową objętością), lecz długości zerowej (jedno-wymiarową objętością). Tylko D-wymiarowa objętość   (w sensie miary Hausdorffa) przyjmuje wartość skończoną niezerową, gdzie   jest wymiarem fraktalnym   Można by zdefiniować funkcję Cantora jako D-wymiarową objętość przedziałów zbioru Cantora:  

UogólnieniaEdytuj

Niech

 

będzie dwójkowym rozwinięciem liczby rzeczywistej   za pomocą cyfr dwójkowych   Rozpatrzmy następującą funkcję:

 

Dla   funkcja odwrotna do funkcji   to funkcja Cantora. Tak więc,   jest funkcją Cantora. Ogólnie dla każdego     wygląda jak funkcja Cantora przewrócona na bok, przy czym szerokość stopni rośnie wraz z tym jak   zbliża się do zera.

Funkcja pytajnika Minkowskiego z wyglądu przypomina funkcję Cantora, robiąc wrażenie „wygładzonej” funkcji Cantora. Można ją skonstruować przechodząc z rozwinięcia liczby w ułamek łańcuchowy do rozwinięcia dwójkowego, podobnie jak funkcję Cantora można skonstruować przechodząc z trójkowego rozwinięcia na dwójkowe rozwinięcie. Funkcja pytajnika posiada tę ciekawą cechę, że jej pochodna zanika dla wszystkich liczb wymiernych.

Linki zewnętrzneEdytuj