Funkcja Cobba-Douglasa

Funkcja Cobba-Douglasa − przedstawienie zależności produkcji od zasobów pracy i kapitału, często stosowane w ekonomii jako funkcja produkcji. Została sformułowana przez Knuta Wicksella i przetestowana na danych statystycznych przez Paula Douglasa i Charlesa Cobba w 1928 roku.

Oryginalnie sformułowana jako funkcja powyższych dwóch zmiennych:

F(K,L)=aK^{\alpha }L^{\beta },K,L\geqslant 0,

gdzie:

K

– nakład kapitału,

L

– nakład pracy potrzebny do wytworzenia

Y=F(K,L)

jednostek produktu,

a

– parametr skalujący.

Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji.

W klasycznej funkcji Cobba-Douglasa $\alpha +\beta =1$ ^[a], co skutkuje brakiem efektów skali (wzrost $K$ i $L$ o 100% spowoduje wzrost $Y$ także o 100%). Założenie to jest postulatem części makroekonomistów, argumentujących, że z jednej strony w całej gospodarce nie ma niekorzyści skali, bo zakłady pracy można po prostu kopiować, z drugiej jednak strony istnieje wiele zakładów pracy, które osiągnęły już optymalną wielkość.

Zdjęcie ostatniego założenia daje funkcję typu Cobba-Douglasa. W przypadku $\alpha +\beta >1$ mamy korzyści skali, w odwrotnym przypadku są ujemne skutki skali.

W uogólnieniu funkcja Cobba-Douglasa – to funkcja wielu zmiennych wyrażająca się wzorem:

F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})=a\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}

określona dla $X_{1},X_{2},\dots ,X_{N}\geqslant 0.$

Funkcja posiada następujące własności:

jest nieujemna,
jest rosnąca,
a gdy $\sum _{i=1}^{N}{\alpha _{i}}=1$
funkcja jest homogeniczna stopnia pierwszego, tj. $\forall z>0:F(zX_{1},zX_{2},\dots ,zX_{N})=zF(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N}),$

co daje stałe przychody względem skali produkcji.

Uwagi edytuj

↑ Nie jest to jednak warunek konieczny. Jeśli $\alpha +\beta \neq 1,$ wystarczy rozważyć funkcję
$f(z)=z^{\frac {1}{\alpha +\beta }}.$
Funkcja $f$ jest rosnąca, zatem po monotonicznej transformacji nie zmienią się preferencje oraz
$F_{1}(K,L)=f(F(K,L))=aK^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}L^{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}.$
Ponadto suma wykładników daje jedynkę:
${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}=1.$

[1] Nie jest to jednak warunek konieczny. Jeśli $\alpha +\beta \neq 1,$ wystarczy rozważyć funkcję
$f(z)=z^{\frac {1}{\alpha +\beta }}.$
Funkcja $f$ jest rosnąca, zatem po monotonicznej transformacji nie zmienią się preferencje oraz
$F_{1}(K,L)=f(F(K,L))=aK^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}L^{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}.$
Ponadto suma wykładników daje jedynkę:
${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}=1.$

[a]