Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy własności funkcji o argumentach liczbowych. Zobacz też: addytywność funkcji zbioru oraz addytywność w fizyce.

Funkcja addytywnafunkcja która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

DefinicjeEdytuj

Addytywność w algebrze i analizieEdytuj

Niech   oraz   będą grupami abelowymi.

  • Powiemy, że funkcja   jest addytywna jeśli
  dla wszystkich  
O addytywnych funkcjach rzeczywistych   mówimy też, że spełniają równanie funkcyjne Cauchy’ego.
  • Jeśli grupa   jest grupą liniowo uporządkowaną przez relację   to funkcję   nazwiemy podaddytywną jeśli
  dla wszystkich  
Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy   jest grupą addytywną liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem).

Addytywność w teorii liczbEdytuj

Teoria liczb posiada własną definicją addytywności. Funkcja   jest funkcją addytywną, gdy dla wszystkich względnie pierwszych liczb   zachodzi

 

Jeżeli powyższy związek zachodzi dla dowolnych liczb   oraz   to funkcję nazywa się całkowicie addytywną.

Przykładem funkcji całkowicie addytywnej jest   równa liczbie czynników w rozkładzie   na czynniki pierwsze. Przykładem funkcji addytywnej, ale nie całkowicie addytywnej, jest   równa liczbie różnych liczb pierwszych dzielących   Wszystkie monotoniczne funkcje addytywne są wielokrotnościami logarytmu. Jeśli   jest funkcją multiplikatywną i dodatnią, to   jest funkcją addytywną.

WłasnościEdytuj

Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.

  • Z zasady indukcji matematycznej można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji   zachodzi
  dla wszystkich    

Stąd też, powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, a funkcje addytywne nazywamy też funkcjami skończenie addytywnymi.

  • Załóżmy, że funkcja addytywna   spełnia jeden z następujących warunków:
(a)   jest ciągła w przynajmniej jednym punkcie lub
(b)   jest monotoniczna na pewnym przedziale lub
(c)   jest ograniczona na pewnym przedziale.
Wówczas   dla wszystkich   (to znaczy,   jest funkcją jednorodną).

Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez Augustina Cauchy’ego[1].

  • W 1905, Georg Hamel[2] udowodnił, że jeśli założymy AC, to istnieją funkcje addytywne   które nie są ciągłe.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Augustin Cauchy: Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique, 1. Analyse alg´ebrique, V. Paris: 1821.
  2. Georg Hamel. Eine Basis al ler Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung  . „Math. Ann.”. 60, s. 459–462, 1905.