Otwórz menu główne

Funkcja analityczna

funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora

Funkcja analityczna na zbiorze D - funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu każdego punktu należącego do D.

DefinicjaEdytuj

Funkcja f jest analityczna na zbiorze otwartym D w sensie rzeczywistym (zespolonym), jeśli dla każdego punktu x0 należącego do D zachodzi wzór

 

gdzie a jest ciągiem liczb rzeczywistych (odpowiednio zespolonych), a powyższy szereg jest zbieżny do f(x) dla każdego x z otoczenia x0.

WłasnościEdytuj

PrzykładyEdytuj

  • Wszystkie wielomiany i funkcje wykładnicze są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej.
  • Funkcje wymierne ciągłe są analityczne w sensie rzeczywistym.
  • Logarytm jest analityczny w sensie rzeczywistym. Na płaszczyźnie zespolonej jest nieciągły na niedodatniej półprostej rzeczywistej.

Funkcje analityczne zmiennej zespolonejEdytuj

Pojęcie funkcji analitycznej różni się zasadniczo dla funkcji zespolonej. Wiele twierdzeń odnoszących się dla funkcji analitycznych w sensie zespolonym jest nieprawdziwych dla funkcji analitycznych w sensie rzeczywistym. Na przykład biorąc pod uwagę funkcję f zdefiniowaną jako

 

Według twierdzenia Liouville’a każda funkcja analityczna i ograniczona jest równa stałej, co w przypadku f jest fałszem.

Dlatego najczęściej funkcję analityczną w sensie zespolonym nazywa się holomorficzną, jako że każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Ponadto jeśli funkcja jest analityczna w sensie zespolonym na całej płaszczyźnie zespolonej, mówi się wtedy o funkcji całkowitej.

Funkcja analityczna (w sensie zespolonym) na   jest rozwijalna w szereg Taylora który jest zbieżny na  . Nie jest to jednak prawdą dla funkcji zmiennej rzeczywistej. Dla przykładu funkcja f jest analityczna na   lecz nie da się jej rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całym zbiorze  .

Linki zewnętrzneEdytuj