Funkcja analityczna

funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora

Funkcja analityczna na zbiorze funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu każdego punktu należącego do

DefinicjaEdytuj

Funkcja   jest analityczna na zbiorze otwartym   w sensie rzeczywistym (zespolonym), jeśli dla każdego punktu   należącego do   zachodzi wzór

 

gdzie   jest ciągiem liczb rzeczywistych (odpowiednio zespolonych), a powyższy szereg jest zbieżny do   dla każdego   z otoczenia  

WłasnościEdytuj

PrzykładyEdytuj

  • Wszystkie wielomiany i funkcje wykładnicze są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej.
  • Funkcje wymierne ciągłe są analityczne w sensie rzeczywistym.
  • Logarytm jest analityczny w sensie rzeczywistym. Na płaszczyźnie zespolonej jest nieciągły na niedodatniej półprostej rzeczywistej.

Funkcje analityczne zmiennej zespolonejEdytuj

Pojęcie funkcji analitycznej różni się zasadniczo dla funkcji zespolonej. Wiele twierdzeń odnoszących się dla funkcji analitycznych w sensie zespolonym jest nieprawdziwych dla funkcji analitycznych w sensie rzeczywistym. Na przykład biorąc pod uwagę funkcję   zdefiniowaną jako

 

Według twierdzenia Liouville’a każda funkcja analityczna i ograniczona jest równa stałej, co w przypadku   jest fałszem.

Dlatego najczęściej funkcję analityczną w sensie zespolonym nazywa się holomorficzną, jako że każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Ponadto jeśli funkcja jest analityczna w sensie zespolonym na całej płaszczyźnie zespolonej, mówi się wtedy o funkcji całkowitej.

Funkcja analityczna (w sensie zespolonym) na   jest rozwijalna w szereg Taylora który jest zbieżny na   Nie jest to jednak prawdą dla funkcji zmiennej rzeczywistej. Dla przykładu funkcja   jest analityczna na   lecz nie da się jej rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całym zbiorze  

Linki zewnętrzneEdytuj