Funkcja antyholomorficzna

Funkcja antyholomorficzna (także funkcja antyanalityczna) – funkcja mająca bliski związek z funkcją holomorficzną.

Definicja formalna

Funkcja zmiennej $z$ określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej nazywana jest antyholomorficzną, jeżeli w każdym punkcie swej dziedziny istnieje jej pochodna względem $z^{*}$ oznaczającego sprzężenie zespolone $z.$

Właściwości

Można wykazać, że jeżeli $f(z)$ jest funkcją holomorficzną na zbiorze otwartym $D,$ to $f(z^{*})$ jest antyholomorficzna na $D^{*}$ – zbiorze symetrycznym do $D$ względem osi rzeczywistej lub, innymi słowy, zbiorze sprzężeń zespolonych elementów należących do $D.$ Co więcej, każda funkcja antyholomorficzna może być uzyskana w ten sposób z funkcji holomorficznej. Oznacza to, że funkcja jest antyholomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy może być rozwinięta w szereg potęgowy względem $z^{*}$ wokół każdego punktu swojej dziedziny.

Jeżeli funkcja jest zarazem holomorficzna i antyholomorficzna, to jest ona stała na każdej spójnej składowej swojej dziedziny. Funkcja, która zależy tak od $z,$ jak i od $z^{*}$ nie jest ani holomorficzna, ani antyholomorficzna.