Funkcja błędu

całka z funkcji Gaussa rozkładu normalnego

Funkcja błędu Gaussafunkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jako

Wykres funkcji błędu
Wykres funkcji błędu (2)

Funkcja jest ściśle związana z uzupełniającą funkcją błędu

Definiuje się także zespoloną funkcję błędu nazywaną także funkcją Faddiejewej:

Najważniejsze własności i zastosowania

edytuj

Funkcja błędu jest nieparzysta:

 

Ponadto należy zauważyć, że prawdziwe jest równanie:

 

gdzie   oznacza sprzężenie zespolone liczby  

Dla osi rzeczywistej funkcja błędu przyjmuje następujące granice:

 

natomiast dla osi urojonej:

 

Funkcja błędu jest ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa. Można to zauważyć, wyliczając pochodną i funkcję pierwotną funkcji błędu:

 
 

Szereg Taylora

edytuj

Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że

 

dla każdego rzeczywistego  

Dla   wartość funkcji błędu można wygodnie wyliczyć z rozwinięcia

 

gdzie   oznacza silnię podwójną liczby  

Dla   wygodne jest następujące rozwinięcie

 

Przybliżenie przy pomocy funkcji elementarnych

edytuj

Jak można łatwo sprawdzić graficznie funkcje błędu można dobrze i zwięźle przybliżyć przez podobnie wyglądające i trochę zdeformowane funkcje cyklometryczne i funkcje hiperboliczne typu tangens, tzn.   i  

 

i

 

Są one więc także odwracalne poprzez rozwiązanie zredukowanego równania czwartego i piątego stopnia.

Także bardzo dokładne i odwracalne przybliżenie funkcji błędu (błąd poniżej 0,00035) można uzyskać poprzez deformacje odjęcia funkcji Gaussa od jedynki:

 

gdzie:

 

jest przybliżeniem Padégo rzędu   z

 

zmieniającej się szerokości funkcji Gaussa.

Przybliżenie to można jeszcze poprawić, redukując błąd do  

 

gdzie     jest uciąglonym przy pomocy wzoru Stirlinga rozkładem Poissona dla  

 

Tablica wartości

edytuj
x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x)
0,00 0,0000000 1,0000000 1,30 0,9340079 0,0659921
0,05 0,0563720 0,9436280 1,40 0,9522851 0,0477149
0,10 0,1124629 0,8875371 1,50 0,9661051 0,0338949
0,15 0,1679960 0,8320040 1,60 0,9763484 0,0236516
0,20 0,2227026 0,7772974 1,70 0,9837905 0,0162095
0,25 0,2763264 0,7236736 1,80 0,9890905 0,0109095
0,30 0,3286268 0,6713732 1,90 0,9927904 0,0072096
0,35 0,3793821 0,6206179 2,00 0,9953223 0,0046777
0,40 0,4283924 0,5716076 2,10 0,9970205 0,0029795
0,45 0,4754817 0,5245183 2,20 0,9981372 0,0018628
0,50 0,5204999 0,4795001 2,30 0,9988568 0,0011432
0,55 0,5633234 0,4366766 2,40 0,9993115 0,0006885
0,60 0,6038561 0,3961439 2,50 0,9995930 0,0004070
0,65 0,6420293 0,3579707 2,60 0,9997640 0,0002360
0,70 0,6778012 0,3221988 2,70 0,9998657 0,0001343
0,75 0,7111556 0,2888444 2,80 0,9999250 0,0000750
0,80 0,7421010 0,2578990 2,90 0,9999589 0,0000411
0,85 0,7706681 0,2293319 3,00 0,9999779 0,0000221
0,90 0,7969082 0,2030918 3,10 0,9999884 0,0000116
0,95 0,8208908 0,1791092 3,20 0,9999940 0,0000060
1,00 0,8427008 0,1572992 3,30 0,9999969 0,0000031
1,10 0,8802051 0,1197949 3,40 0,9999985 0,0000015
1,20 0,9103140 0,0896860 3,50 0,9999993 0,0000007

Zobacz też

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj
  • Eric W. Weisstein, Erf, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-05-31].
  •   Probability integral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].