Funkcja boolowska (funkcja logiczna) – dowolne odwzorowanie gdzie jest podzbiorem zaś jest podzbiorem

Jeżeli funkcja boolowska jest określona dla każdego elementu zbioru (czyli ), to nazywamy ją funkcją zupełną. Analogicznie, jeśli jest właściwym podzbiorem to funkcja jest nazywana niezupełną lub też nie w pełni określoną.

Liczba wszystkich -argumentowych funkcji zupełnych jest równa:

Funkcja boolowska jest matematycznym modelem układu kombinacyjnego. Układy tego typu są używane do budowy między innymi multiplekserów, mikroprocesorów, do sterowania na przykład wyświetlaczami LED i w wielu innych urządzeniach elektronicznych.

Zapis funkcji boolowskiejEdytuj

W opisie funkcji boolowskich używa się następujących elementów: literałów i wartości ze zbioru   0 i 1 są tutaj umownymi oznaczeniami dla wartości funkcji i nie należy ich wiązać z liczbami 0 (zero) i 1 (jeden); kreska oznacza, że funkcja nie jest dla danego wektora określona.

LiterałyEdytuj

Literał definiuje się jako:

 

gdzie   jest symbolem zmiennej, natomiast   wskaźnikiem literału. Mając dowolne   zmiennych można przedstawić je w postaci literałów:

 

W niektórych zastosowaniach często przedstawia się funkcję (lub jej elementy) wyłącznie za pomocą wektorów wskaźników literałów:

 

np.

 
 

W przypadku drugiej konwersji przypisanie poszczególnym bitom zmiennych jest czysto umowne.

TermyEdytuj

Termem (wyrazem) iloczynowym/sumowym nazywamy iloczyn (np.  )/sumę (np.  ) w którym żadna ze zmiennych nie występuje więcej niż raz. Np. jeśli funkcja ma trzy argumenty     i   to termem jest     itp.

Iloczyn nazywany jest pełnym, gdy zawiera wszystkie literały; analogicznie definiuje się sumę pełną. Miniterm jest innym określeniem dla iloczynu pełnego, maxterm dla sumy pełnej.

Jeśli miniterm (analogicznie maxterm) zostanie przedstawiony za pomocą wektora wskaźników literałów, to wartość dwójkowa tego wektora nazywana jest indeksem dwójkowym iloczynu (sumy), natomiast wartość dziesiętna indeksem dziesiętnym iloczynu (sumy); czasem pomija się przymiotniki „dwójkowy” i „dziesiętny”, mówiąc po prostu „indeks iloczynu (sumy)”.

Formy zapisu funkcjiEdytuj

W przykładach zakładamy, że funkcja   ma trzy argumenty:     i  

Opis słownyEdytuj

Ten sposób stosowany jest w przypadku prostych funkcji, lub gdy charakteryzowane są pewne specyficzne własności funkcji. Np. „funkcja ma wartość jeden, gdy a jest różne od b, lub c jest równe b” lub „dla indeksów nieparzystych funkcja jest równa zero”.

Tablica prawdyEdytuj

W tablicy wypisuje się wszystkie kombinacje zmiennych wejściowych oraz odpowiadające im wartości funkcji. W pierwszej kolumnie (oznaczonej #) można wpisać odpowiednie indeksy dziesiętne.

Gdy funkcja posiada niewiele jedynek (zer), wówczas do tablicy wpisuje się tylko te wiersze dla których funkcja jest równa jeden (zero).

# A B C f
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 1
3 0 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0

Mapa KarnaughaEdytuj

Osobny artykuł: metoda Karnaugha.

Jest to przekształcona tablica prawdy, przedstawiona w postaci prostokątnej tablicy, gdzie indeksy dwójkowe zostały pogrupowane tak, by spełniały własności kodu Graya.

A\BC 00 01 11 10
0 1 1 1
1 1 0 0 1

Kanoniczna postać sumyEdytuj

Dowolną funkcję boolowską można rozłożyć na dwa składniki w następujący sposób (jest to tak zwane twierdzenie o rozkładzie):

 

Postępując w ten sposób, dla wszystkich   argumentów otrzymamy   sum iloczynów minitermów i wartości funkcji o stałych argumentach, np.

 

Ponieważ iloczyn   można zatem usunąć (nie pisać) wszystkie iloczyny w których funkcja ma wartość zero.

Np. jeśli funkcja   przyjmuje wartości 1 dla a=1, b=0 dla pozostałych kombinacji zero, to jej kanoniczna postać sumy będzie miała postać:

 
 

Zatem w ostatecznej postaci funkcji pozostają jedynie te minitermy (iloczyny pełne) dla których funkcja ma wartość jeden. Często, w skróconej formie, opisuję się funkcję wyłącznie za pomocą zbioru ich indeksów dziesiętnych, np.:   Wartość w nawiasie oznacza, że dla tego indeksu funkcja ma wartość nieokreśloną.

W polskiej literaturze kanoniczna postać sumy oznaczana jest skrótem KPS, a w angielskiej SOP.

Kanoniczna postać iloczynuEdytuj

Twierdzenie o rozkładzie ma również inną postać:

 

Postać wynikowa kanonicznej postaci iloczynu zawiera iloczyn wszystkich maxtermów (sum pełnych) dla których funkcja przyjmuje wartość zero.

W polskiej literaturze kanoniczna postać iloczynu oznaczana jest skrótem KPI, a w angielskiej POS.

Macierz kostekEdytuj

 

PodsumowanieEdytuj

Powyższe zapisy niosą z sobą nadmiar informacji. W tym przykładzie możliwa jest minimalizacja funkcji   czyli sprowadzenie jej do prostszej, jakkolwiek równoważnej postaci:

 

Oprócz minimalizacji istnieją inne ważne zagadnienia z dziedziny syntezy logicznejredukcja argumentów i dekompozycja funkcji boolowskich. Dzięki nim możliwe jest budowanie szybszych, tańszych i mniej zawodnych układów cyfrowych.

Najczęściej używane funkcje boolowskie:

Zobacz teżEdytuj