Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)

Ten artykuł dotyczy teorii prawdopodobieństwa. Zobacz też: inne znaczenia tego wyrazu.

Funkcją charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się funkcję zadaną wzorem

Definicja intuicyjna
Odpowiednik transformaty Fouriera dla miar probabilistycznych, rozkładów prawdopodobieństwa i zmiennych losowych.

Jeżeli jest zmienną losową, a jest jej rozkładem, to jej funkcja charakterystyczna może być zapisana jako

gdzie to wartość oczekiwana.

Zobacz też: Całka Lebesgue'a.

Funkcja charakterystyczna, podobnie jak dystrybuanta, koduje pełną informację o rozkładzie. Jest ona dobrze określona (istnieje dla każdego rozkładu). Dla rozkładów ciągłych jest to transformata Fouriera funkcji gęstości prawdopodobieństwa:

stąd można ją uznać za uogólnienie transformaty Fouriera na dowolne rozkłady.

Dla rozkładów dyskretnych o masie prawdopodobieństwa skupionej w punktach

WłasnościEdytuj

  •  
  •  
  •  
  •   jest dodatnio określona,
  •   jest jednostajnie ciągła,
  •   jest funkcją rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład jest symetryczny,
  •   dla rozkładów ciągłych (twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a).

Funkcja charakterystyczna funkcji liniowej   zmiennej losowej   wyraża się za pomocą funkcji charakterystycznej zmiennej losowej   według następującego wzoru:

 

PrzykładyEdytuj

Niżej podano funkcje charakterystyczne   znanych rozkładów   Zawsze     przy czym   oraz   Symbol   oznacza indykator zbioru  

Nazwa Oznaczenie Rozkład Funkcja charakterystyczna
jednopunktowy      
dwupunktowy    
Poissona      
dwumianowy      
geometryczny      
jednostajny (na odcinku)      
wykładniczy      
normalny      
normalny standardowy      

MomentyEdytuj

Z funkcji charakterystycznej   da się wyznaczyć momenty zmiennej losowej   Istnieje też częściowe odwrócenie tego twierdzenia dla momentów parzystych.

Twierdzenie
Jeżeli istnieje  -ty moment zmiennej losowej   tzn.   to istnieje również  -ta pochodna funkcji charakterystycznej   co więcej jest ona jednostajnie ciągła, oraz zachodzi
 

Dzięki temu wzór Taylora funkcji charakterystycznej wygląda następująco: jeżeli   to

 
Twierdzenie
Jeżeli istnieje  -ta pochodna funkcji charakterystycznej zmiennej losowej, gdzie   oraz   to istnieje  -ty moment tej zmiennej losowej.

RozkładyEdytuj

Kryterium określającego kiedy funkcja   jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa dostarcza twierdzenie Bochnera. Innym jest kryterium Pólya.

Funkcja charakterystyczna determinuje rozkład, tzn. jeśli   są rozkładami prawdopodobieństwa na   to jeśli mają one równe funkcje charakterystyczne, czyli   to  

Ponieważ ciąg   jest zbieżny według rozkładu, jeżeli

  dla dowolnej funkcji   ciągłej i ograniczonej,

w szczególności dla   (ciągłej i ograniczonej co do modułu przez 1), to

 

a więc zbieżność według rozkładu zmiennych losowych pociąga zbieżność punktową ich funkcji charakterystycznych. Twierdzenie Lévy’ego-Craméra jest nietrywialnym odwróceniem tego wyniku.

Dystrybuanta i gęstośćEdytuj

Z tożsamości Parsevala wynika wzór na dystrybuantę   rozkładu o funkcji charakterystycznej   Jeżeli punkt   jest punktem ciągłości, to

 

Odwrotna transformacja Fouriera umożliwia wyznaczenie gęstości: jeżeli   jest całkowalna, to rozkład ten ma ograniczoną i ciągłą gęstość   daną wzorem

 

Twierdzenie Plancherela mówi, iż jeżeli rozkład ma gęstość   i funkcję charakterystyczną   to   jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy   jest całkowalna. Wtedy też

 

Niezależne zmienne losoweEdytuj

Funkcje charakterystyczne są szczególnie użyteczne do badania zmiennych będących funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Jeżeli   jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, a

 

gdzie   to funkcja charakterystyczna   dana jest wzorem

 

W szczególności   co wynika wprost z definicji funkcji charakterystycznych (pierwsza i czwarta równość), własności funkcji wykładniczej (druga równość) i niezależności zmiennych losowych (trzecia równość):

 

Rozkłady wielowymiaroweEdytuj

Jeżeli   zaś   jest wektorem losowym, a przez   rozumie się ich iloczyn skalarny, to funkcję charakterystyczną wektora   definiuje się analogicznie wzorem

 

lub w zapisie macierzowym

 

gdzie   oznacza transpozycję (oba wektory są kolumnowe).

Funkcja charakterystyczna przekształcenia afinicznego   wyraża się przez   wzorem postaci:

 

gdzie   jest przekształceniem liniowym (macierzą), zaś  

Zmienne losowe  niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Zgodnie z twierdzeniem Craméra-Wolda ciąg wektorów losowych   zbiega według rozkładu do wektora   wtedy i tylko wtedy, gdy   zbiega według rozkładu do   dla każdego  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj