Funkcja dzeta Riemanna

matematyczna funkcja specjalna

Funkcja zeta Riemanna (funkcja dzeta Riemanna, funkcja ) – zespolona funkcja specjalna zdefiniowana w postaci szeregu

Wykres funkcji w dziedzinie liczb rzeczywistych
Wykres funkcji w dziedzinie liczb zespolonych uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

dla dowolnej liczby zespolonej o części rzeczywistej oraz jako przedłużenie analityczne powyższego szeregu dla pozostałych liczb zespolonych[1].

Funkcję po raz pierwszy zdefiniował Leonhard Euler w XVIII w., jednak rozważał jej wartości jedynie dla zmiennych rzeczywistych. Dopiero Bernhard Riemann w artykule z listopada 1859 r. O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości (niem. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) rozszerzył definicję Eulera na wszystkie liczby zespolone, udowodnił meromorficzność funkcji, przedstawił i udowodnił równanie funkcyjne opisujące funkcję na całej płaszczyźnie zespolonej i wykazał zależność między rozmieszczeniem jej miejsc zerowych a liczbą liczb pierwszych. Artykuł ten zawierał również sformułowanie hipotezy Riemanna, określanej jako najważniejszy problem otwarty matematyki[2].

Funkcja dzeta znajduje bardzo wiele zastosowań w analitycznej teorii liczb.

Postacie funkcji edytuj

Dla zmiennej o części rzeczywistej większej niż 1 edytuj

Funkcja   jest pierwotnie definiowana za pomocą szeregu. W swojej pracy Riemann udowodnił także postać

 

dla   wykorzystując przy tym odwrotność funkcji gamma.

W perspektywie teorii liczb, zdecydowanie największą rolę odgrywa iloczyn Eulera funkcji zeta, będący postaci

 

gdzie   oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych[3][4].

W pasie krytycznym edytuj

Często wykorzystywaną reprezentacją funkcji   na pasie   jest

 

gdzie   oznacza część ułamkową. Postać tę można odczytać ze wzoru sumacyjnego Eulera[5][6].

Na całej płaszczyźnie zespolonej edytuj

 

Równanie funkcyjne edytuj

Równaniem udowodnionym przez Riemanna, które opisuje zachowanie funkcji  

 

dla dowolnej liczby zespolonej   gdzie   to funkcja gamma. Równanie to wiąże wartości funkcji dla zmiennych zespolonych   i   symetrycznych wobec siebie względem prostej krytycznej   Z równania tego można również odczytać, że trywialnymi miejscami zerowymi funkcji    (ponieważ wtedy wartości   funkcji   i   są skończone, a  ). Jednocześnie, jeśli   (jest dodatnią liczbą parzystą), to   ponieważ w tych miejscach występują bieguny funkcji   Ponadto, jeśli   jest nietrywialnym miejscem zerowym     to jest nim również   Jeśli   nie leży na prostej krytycznej, to są to dwie różne wartości, dlatego nietrywialne miejsca zerowa poza prostą krytyczną muszą występować w parach.

Przedstawimy poniżej trzy dowody prawdziwości równania funkcyjnego wg Titchmarsha (spośród aż siedmiu przedstawionych)[7].

Dowód 1. W pierwszym dowodzie wyprowadzamy, a następnie korzystamy z postaci funkcji   wykorzystującej całkę z funkcji  

Wzór sumacyjny Eulera mówi, że dla dowolnej funkcji   o ciągłej pochodnej zachodzi

 

Biorąc   otrzymamy

 

Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby   Widzimy, że

 

Stąd

 

dla  

Teraz skorzystajmy z szeregu Fouriera zbieżnego do części ułamkowej. Mamy

 

dla   niecałkowitych. Podstawiając pod całkę, otrzymamy

 

Upraszczając i korzystając z   otrzymamy równanie.

Dowód 2. Dowód ten przeprowadzany jest ze szczególnym uwzględnieniem narzędzi analizy zespolonej.

Zacznijmy od udowodnienia szczególnej postaci funkcji   (przedstawionej wcześniej w artykule). Całkując przez podstawienie, pokazujemy, że

 

więc dla   mamy

 

gdzie przy trzeciej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie, ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny, a ostatnia równość zachodzi, ponieważ występujący tam szereg jest zwykłym szeregiem geometrycznym.

Rozważmy całkę

 
 
kontur Hankela

gdzie   oznacza kontur Hankela (krzywą składającą się z prostej   od   do     fragmentu dodatnio określonego (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) okręgu   okrążając 0 i prostej   od   do  ). Przyjęliśmy tutaj

 

gdzie logarytm jest rzeczywisty na początku konturu. Na zadanym okręgu mamy

 

i

 

dla pewnej stałej   więc

 

Stąd, jeśli   to przy   wartość powyższej całki na części okręgu   dąży do 0. Dlatego, zakładając dalej   mamy

 

Dlatego

 

dla   Jednakże całka   zbiega jednostajnie na każdym skończonym obszarze płaszczyzny zespolonej. W ten sposób przedłużymy analitycznie funkcję Riemanna.

Niech   będzie konturem równym   od   do   następnie dodatnio określonym fragmentem kwadratu   a potem   od   do   Całkowana funkcja ma pomiędzy konturami   a   bieguny w punktach   Residua w punktach   i   to w sumie

 

Dlatego z twierdzenia o residuach, mamy

 

Biorąc   i wiedząc, że funkcja   jest ograniczona oraz   wnioskujemy, że całka po konturze   dąży do 0. Dlatego

 

Upraszczając, otrzymamy równanie funkcyjne.

Dowód 3.

Jeśli   to, całkując przez podstawienie,

 

Stąd, dla   zachodzi

 

gdzie, podobnie jak w poprzednim dowodzie, w ostatniej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie, ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny (stąd silniejsze założenie o części rzeczywistej  ). Oznaczmy

 

Wówczas

 

Korzystając ze wzoru sumacyjnego Poissona, otrzymamy

 

a stąd

 

Dlatego

 

Powyższe wyrażenie jest równe

 

co z kolei równa się

 

Zatem

 

gdzie całka jest zbieżna dla wszystkich   zespolonych, więc wyrażenie po lewej można przedłużyć analitycznie. Ponadto, prawa strona nie zmienia wartości po zastąpieniu   przez   Dlatego

 

Po uproszczeniu otrzymamy równanie funkcyjne.

Wzory związane z funkcją zeta edytuj

Osobny artykuł: Iloczyn Eulera.

Na półpłaszczyźnie   funkcja Riemanna jest wyrażona przez iloczyn Eulera  

gdzie   oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych[3][4].

Ponadto, dla   prawdziwe są tożsamości

 

oraz

 

gdzie   to funkcja Möbiusa,

 

gdzie   to funkcja Liouville’a,

Wszystkie powyższe iloczyny można otrzymać przez zwykłe przekształcenia algebraiczne na produkcie Eulera funkcji   a szeregi po prawej – przez wymnażanie czynników[8].

Prawdziwe są również wzory

 

gdzie   oznacza liczbę dodatnich dzielników, a także ogólniej

 

dla   gdzie   oznacza liczbę sposobów na przedstawienie liczby całkowitej dodatniej   jako iloczyn   czynników całkowitych dodatnich.

 

gdzie   to funkcja pierwsza omega, czyli liczba dzielników pierwszych. Ponadto

 
 

przy czym wszystkie powyższe wzory są prawdziwe na obszarze zbieżności szeregów, czyli  [9]. Dodatkowo

 

gdzie   oznacza tocjent Eulera i

 

gdzie   jest największym dzielnikiem nieparzystym liczby   Te dwa wzory są prawdziwe dla  [10].

Biorąc logarytm zespolony iloczynu Eulera, mamy

 

przy czym ostatnia równość zachodzi, ponieważ   jest szeregiem potęgowym funkcji   Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy

 

gdzie   oznacza funkcję von Mangoldta[11].

Związek z liczbami Bernoulliego:

 

dla każdej liczby parzystej dodatniej   gdzie   to  -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych  

 

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Logarytm funkcji zeta można wyrazić jako[12]:

 

gdzie   to funkcja licząca liczby pierwsze[13].

Znaczenie w teorii liczb edytuj

 
Pierwsza strona artykułu Riemanna O liczbie liczb pierwszych mniejszych od zadanej wielkości z 1859 r.

Funkcja   jest podstawowym obiektem badań analitycznej teorii liczb. Jest to funkcja meromorficzna, która swoim zachowaniem opisuje zjawiska dyskretne, takie jak rozmieszczenie liczb pierwszych. Mówiąc dokładniej, nietrywialne miejsca zerowe funkcji zeta występują we wzorach opisujących chociażby funkcję liczącą liczby pierwsze czy funkcję Czebyszewa.

Znając wzór

 

i oznaczając drugą funkcję Czebyszewa jako   oraz   dla   całkowitych i   dla wszystkich pozostałych, możemy skorzystać ze wzoru Perrona by uzyskać

 

Stąd otrzymujemy wzór explicite

 

gdzie   i   oznaczają odpowiednio sumy po wszystkich nietrywialnych i trywialnych miejscach zerowych funkcji   Widzimy, że

 

Zatem[14]

 

Niech   będzie funkcją liczącą liczby pierwsze. Równoważnie, jeśli oznaczymy przez   dla   pierwszych oraz   dla pozostałych   sumując po częściach, otrzymamy[15]

 

gdzie   oznacza logarytm całkowy.

Z powyższych możemy wnioskować, że udowodnienie, że   nie ma żadnych zer na prostej   jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a hipoteza Riemanna jest równoważna z błędem w szacowaniu rzędu  

Miejsca zerowe edytuj

 
Moduły funkcji Z Riemanna-Siegela (linia przerywana) oraz funkcji zeta Riemanna (linia ciągła) na prostej krytycznej

Równanie funkcyjne mówi, że funkcja Riemanna przyjmuje wartość równą 0 dla wszystkich ujemnych liczb parzystych, czyli   Są to tzw. zera trywialne. Są trywialne w takim sensie, że łatwo jest udowodnić ich występowanie, ponieważ są one miejscami, w których sinus przyjmuje wartość 0. O wiele większe znaczenie mają zera nietrywialne, czyli wszystkie miejsca zerowe niebędące zerami trywialnymi.

Wiadomo, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe muszą leżeć na pasie krytycznym, zdefiniowanym jako   Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe leżą na prostej krytycznej  

Niech   oznacza liczbę miejsc zerowych funkcji Riemanna postaci   przy   W 1921 Hardy i Littlewood udowodnili, że nieskończenie wiele nietrywialnych zer leży na prostej krytycznej[16], a dokładniej mówiąc wykazali, że dla każdego   istnieje stała   taka, że

 

dla wszystkich  

Współcześnie wiadomo, że

 

dla   Ponadto, jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to[17]

 

W 1989 Conrey udowodnił, że przynajmniej   z nich musi leżeć na tej prostej[18].

Niektóre wartości edytuj

 
 [19]
 [19]
 [19]
 
 

Ogólnie, dla   mamy:

 [20]

gdzie   to liczba Bernoulliego z indeksem  

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. Funkcja dzeta (zeta) Riemanna, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-09-14].
  2. Enrico Bombieri, The Riemann Hypothesis – official problem description [online], Clay Mathematics Institute, 8 sierpnia 2014 [dostęp 2023-12-17] [zarchiwizowane z adresu 2015-12-22] (ang.).
  3. a b Georg Friedrich Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859.
  4. a b Titchmarsh 1986 ↓, s. 1.
  5. Integral Representation of Riemann Zeta Function in terms of Fractional Part - ProofWiki [online], proofwiki.org [dostęp 2024-04-23] (ang.).
  6. Montgomery i Vaughan 2006 ↓, s. 24.
  7. Titchmarsh 1986 ↓, s. 13–29.
  8. Montgomery i Vaughan 2006 ↓, s. 22.
  9. Titchmarsh 1986 ↓, s. 4–5.
  10. Titchmarsh 1986 ↓, s. 6.
  11. Montgomery i Vaughan 2006 ↓, s. 23.
  12. Titchmarsh 1986 ↓, s. 2.
  13. Titchmarsh 1986 ↓, s. 4.
  14. Tao T., 254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory, What’s new, 10 grudnia 2014 [dostęp 2023-12-12] (ang.).
  15. Daniel Hutama, Implementation of Riemann’s Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage [online], Institut des sciences mathématiques, 2017 (ang.).
  16. G.H. Hardy, J.E. Littlewood, The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line, „Mathematische Zeitschrift”, 10 (3–4), 1921, s. 283–317, DOI10.1007/bf01211614, ISSN 0025-5874 [dostęp 2023-12-17].
  17. Montgomery i Vaughan 2006 ↓, s. 454.
  18. J.B. Conrey, More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line., „Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)”, 1989 (399), 1989, s. 1–26, DOI10.1515/crll.1989.399.1, ISSN 0075-4102 [dostęp 2023-12-17].
  19. a b c Maligranda 2008 ↓, s. 55.
  20. Maligranda 2008 ↓, s. 62.

Bibliografia edytuj

Linki zewnętrzne edytuj