Funkcja dzeta Riemanna

matematyczna funkcja specjalna

Funkcja ζ (dzeta) Riemannafunkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:

Szereg ten jest zbieżny dla takich których część rzeczywista jest większa od 1 (Re z > 1).

Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza Przyjmuje ona wtedy postać:

[1]

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

[2][3]

gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.

Wykres funkcji ζEdytuj

Dziedzina liczb rzeczywistychEdytuj

 

Dziedzina liczb zespolonychEdytuj

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.  

Ważne wzory związane z funkcją ζEdytuj

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla  ):

 [4][5]

gdzie   oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

 

dla każdej liczby parzystej dodatniej   gdzie   to  -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych  

 

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

 [6]

gdzie   to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od  

 [7]

gdzie   to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby  

Niektóre wartościEdytuj

 
Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1
 
 [8]
 [8]
 [8]
 
 

Ogólnie, dla   mamy:

 [9]

gdzie   to liczba Bernoulliego z indeksem  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Marcin Szweda, Kongruencje na liczbach harmonicznych i ich uogólnienia, [w:] Oblicze 2016, Poznań: Koło Naukowe Matematyków UAM, wrzesień 2016, s. 210, ISBN 978-83-946301-0-2 [dostęp 2019-02-09] (pol.).
  2. Titchmarsh 1986 ↓, s. 13.
  3. Carl M Bender, Dorje C. Brody, Markus P. Müller, Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function, „Physical Review Letters”, 118, 2017, s. 130201-1, DOI10.1103/PhysRevLett.118.130201 (ang.).
  4. Georg Friedrich Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859.
  5. Titchmarsh 1986 ↓, s. 1.
  6. Titchmarsh 1986 ↓, s. 2.
  7. Titchmarsh 1986 ↓, s. 4.
  8. a b c Maligranda 2008 ↓, s. 55.
  9. Maligranda 2008 ↓, s. 62.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj