Otwórz menu główne

Funkcja dzeta Riemanna

matematyczna funkcja specjalna

Funkcja ζ (dzeta) Riemannafunkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:

Szereg ten jest zbieżny dla takich których część rzeczywista jest większa od 1.

Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza Przyjmuje ona wtedy postać:

[1]

Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:

[2][3]

gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.

Spis treści

Wykres funkcji ζEdytuj

Dziedzina liczb rzeczywistychEdytuj

 

Dziedzina liczb zespolonychEdytuj

Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.  

Ważne wzory związane z funkcją ζEdytuj

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla  ):

 [4][5]

gdzie   oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

 

dla każdej liczby parzystej dodatniej   gdzie   to  -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych  

 

Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

 [6]

gdzie   to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od  

 [7]

gdzie   to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby  

Niektóre wartościEdytuj

 
Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1
 
 [8]
 [8]
 [8]
 
 

Ogólnie, dla   mamy:

 [9]

gdzie   to liczba Bernoulliego z indeksem  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Marcin Szweda, Kongruencje na liczbach harmonicznych i ich uogólnienia [w:] Oblicze 2016, Poznań: Koło Naukowe Matematyków UAM, wrzesień 2016, s. 210, ISBN 978-83-946301-0-2 [dostęp 2019-02-09] (pol.).
  2. Titchmarsh 1986 ↓, s. 13.
  3. Carl M Bender, Dorje C. Brody, Markus P. Müller, Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function, „Physical Review Letters”, 118, 2017, s. 130201-1, DOI10.1103/PhysRevLett.118.130201 (ang.).
  4. Georg Friedrich Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859.
  5. Titchmarsh 1986 ↓, s. 1.
  6. Titchmarsh 1986 ↓, s. 2.
  7. Titchmarsh 1986 ↓, s. 4.
  8. a b c Maligranda 2008 ↓, s. 55.
  9. Maligranda 2008 ↓, s. 62.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj