Funkcja dzeta Riemanna
Funkcja ζ (dzeta) Riemanna – funkcja specjalna zdefiniowana jako przedłużenie analityczne poniższej sumy:
Szereg ten jest zbieżny dla takich których część rzeczywista jest większa od 1 (Re z > 1)[1].
Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza Przyjmuje ona wtedy postać[2]:
Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym[3][4]:
gdzie to funkcja Γ (gamma) Eulera.
Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – hipoteza Riemanna.
Wykres funkcji ζEdytuj
Dziedzina liczb rzeczywistychEdytuj
Dziedzina liczb zespolonychEdytuj
Wykres funkcji ζ(z) na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.
Ważne wzory związane z funkcją ζEdytuj
Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi (dla )[5][6]:
gdzie oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.
Związek z liczbami Bernoulliego:
dla każdej liczby parzystej dodatniej gdzie to -ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
Związki z funkcjami teorioliczbowymi[7]:
gdzie to funkcja π (pi) określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od [8]
gdzie to funkcja τ (tau), określająca liczbę dzielników liczby
Niektóre wartościEdytuj
Ogólnie, dla mamy:
gdzie to liczba Bernoulliego z indeksem
Zobacz teżEdytuj
PrzypisyEdytuj
- ↑ Funkcja dzeta (zeta) Riemanna, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-14] .
- ↑ Marcin Szweda , Kongruencje na liczbach harmonicznych i ich uogólnienia, [w:] Oblicze 2016, Poznań: Koło Naukowe Matematyków UAM, wrzesień 2016, s. 210, ISBN 978-83-946301-0-2 [dostęp 2019-02-09] (pol.).
- ↑ Titchmarsh 1986 ↓, s. 13.
- ↑ Carl M Bender , Dorje C. Brody , Markus P. Müller , Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function, „Physical Review Letters”, 118, 2017, s. 130201–1, DOI: 10.1103/PhysRevLett.118.130201 (ang.).
- ↑ Georg Friedrich Bernhard Riemann , Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, „Monatsberichte der Berliner Akademie”, listopad 1859 .
- ↑ Titchmarsh 1986 ↓, s. 1.
- ↑ Titchmarsh 1986 ↓, s. 2.
- ↑ Titchmarsh 1986 ↓, s. 4.
- ↑ a b c Maligranda 2008 ↓, s. 55.
- ↑ Maligranda 2008 ↓, s. 62.
BibliografiaEdytuj
- E.C. Titchmarsh , The theory of the Riemann zeta-function, second edition, Oxford: Clarendon Press, 1986 (ang.).
- Lech Maligranda, Szeregi w pracach Eulera, „Antiquitates Mathematicae”, 2, 2008, s. 47–67, DOI: 10.14708/am.v2i1.609, ISSN 1898-5203, URN: urn:nbn:se:ltu:diva-13072 .
Linki zewnętrzneEdytuj
- Eric W. Weisstein , Riemann Zeta Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Grant Sanderson, Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation, kanał 3blue1brown na YouTube, 9 grudnia 2016 [dostęp 2021-03-15].