Otwórz menu główne

Funkcja falowa – w mechanice kwantowej funkcja położenia układu cząstek w przestrzeni konfiguracyjnej i czasu o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem ogólnego równania Schrödingera, przy czym dla układu N cząstek mamy

gdzie – wektor położenia -tej cząstki.

Jeżeli funkcja ta opisuje stan kwantowy układu cząstek bez spinu, to jest to funkcja skalarna (ma pojedyncze wartości). Dla cząstek ze spinem funkcja falowa jest wielowartościowa – jej wartości przedstawia się zwykle w postaci kolumny i nazywa spinorem.

Funkcja falowa może być charakteryzowana dodatkowo przez inne liczby kwantowe, np. izospin, zapach itd.

Wartości funkcji falowej dla danych wielkości nazywa się amplitudami prawdopodobieństwa znalezienia układu w chwili w położeniu w danym stanie spinowym itd.

Jednostką funkcji falowej w trójwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych jest m-3/2. Dopuszczalne jest również używanie układu współrzędnych sferycznych, gdzie funkcja falowa jest bezwymiarowa[1][2].

Postulat BornaEdytuj

Funkcje falowe nie są bezpośrednio mierzalne. Ich sens fizyczny określa postulat Borna:

(1) W przypadku pojedynczej cząstki bez spinu poruszającej się w przestrzeni   funkcja falowa przypisuje położeniu cząstki   w chwili   liczbę zespoloną   taką że:

Kwadrat modułu   jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie   w chwili   przy czym funkcja falowa musi być unormowania do 1, tzn.

 

(2) W wypadku dla układu   cząstek bez spinu kwadrat modułu   jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia układu w punkcie   przestrzeni konfiguracyjnej w chwili   przy czym konfigurację określa wektor   gdzie   jest wektorem położenia  -tej cząstki w przestrzeni fizycznej   w chwili  

(3) W przypadku pojedynczej cząstki poruszającej się w przestrzeni   posiadającej dodatkowo spin 1/2 (np. elektron), funkcję falową można zapisać w postaci wektora (ściśle – spinora) o dwóch składowych, reprezentujących amplitudy prawdopodobieństw ustawieniu spinu zgodnie z zewnętrznym polem magnetycznym i przeciwnie do niego

 

przy czym:

  •   – gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili   w punkcie   ze spinem skierowanym zgodnie z wektorem pola magnetycznego,
  •   – gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili   w punkcie   ze spinem skierowanym przeciwnie do pola.

(4) W przypadku dwóch cząstek poruszających się w przestrzeni   o spinie 1/2 (np. 2 elektrony), funkcję falową można zapisać w postaci

 

przy czym:

  •   – wektor położenia 2 cząstek w przestrzeni konfiguracyjnej,
  •   – gęstość prawdopodobieństwa znalezienia w chwili  :
    • pierwszej cząstki w punkcie   ze spinem  
    • drugiej cząstki w punkcie   ze spinem  
  •   – gęstość prawdopodobieństwa znalezienia w chwili  :
    • pierwszej cząstki w punkcie   ze spinem  
    • drugiej cząstki w punkcie   ze spinami   itd.

(5) Ogólnie, dla układu   cząstek o spinie   funkcja falowe będzie miała   składowych zespolonych, mających wszystkie różne zestawienia wartości przyjmowanych przez liczby spinowe poszczególnych cząstek, przy czym każda z cząstek może mieć tych liczb  

Faza funkcji falowejEdytuj

Funkcja falowa jest funkcją o wartościach zespolonych, dlatego może być przedstawiona w postaci iloczynu modułu i fazy

 

Faza funkcji falowej nie ma znaczenia fizycznego.

Możliwy jest jednak pomiar różnic wartości faz poszczególnych części funkcji falowej (porównaj efekt Aharonova-Bohma, gdzie faza funkcji składowej falowej zależy od drogi, jaką dana składowa przemieszczała się w polu magnetycznym).

Wektor stanu w przestrzeni HilbertaEdytuj

Bardziej abstrakcyjny sens matematyczny funkcji falowej wymaga odwołania się do przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią wektorową określoną nad ciałem liczb zespolonych, z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jako iloczyn wektora z jego sprzężeniem zespolonym; w notacji Diraca iloczyn ten ma postać

 

gdzie   – wektor (tzw. ket),   – sprzężenie zespolone wektora (tzw. bra); iloczyn skalarny – to bra-ket, czyli z j. angielskiego nawias; w ten sposób notacja Diraca jest łatwa do zapamiętania.

Wymiar przestrzeni Hilberta zależy od rodzaju układu kwantowego. Stan układu fizycznego określony jest za pomocą wektora w tej przestrzeni.

Bazę przestrzeni Hilberta można wybrać na wiele sposobów. Jedną z możliwych baz stanowi baza położeniowa, określająca możliwe położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej. Inną bazą jest baza określająca możliwe pędy układu.

Wektor w przestrzeni Hilberta – reprezentujący stan układu kwantowego – można przedstawić jako kombinacje liniową wektorów bazowych, wprowadzając tym samym współrzędne wektora. Transformacje pomiędzy różnymi bazami odpowiadają zmianie reprezentacji, jak np. zmianie reprezentacji położeniowej na reprezentację pędów. Rozkład wektora w danej bazie pozwala przewidywać wyniki pomiaru odpowiedniej wielkości fizycznej

Mianowicie, dla operatora pomiaru (tzw. obserwabli) odpowiadającego pomiarowi pewnej wielkości fizycznej na układzie kwantowym (np. położenia lub pędu) szczególną rolę odgrywają unormowane do 1 wektory przestrzeni Hilberta, które są wektorami własnymi operatora pomiaru. Kwadrat modułu rzutu wektora stanu na wektor własny takiego operatora (obliczany przy użyciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego), jest równy prawdopodobieństwu zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym po akcie pomiaru wielkości fizycznej odpowiadającej temu operatorowi.

Funkcję falową otrzymujemy w szczególnym przypadku, gdy operatorem pomiaru jest operator położenia, określający położenie układu w przestrzeni: współrzędne wektora stanu wyrażonego w bazie stanów własnych operatora położenia nazywa się wartościami funkcji falowej, obliczonej w odpowiednich położeniach.

Aby zilustrować powyżej omówiony formalizm rozważmy przypadek, gdy wielkości mierzone są dyskretne. Wtedy wektor stanu zapisuje się następująco (w notacji Diraca)

 

gdzie   są wektorami własnymi wybranego operatora pomiaru   tj.

 

zaś   są wartościami, jakie można uzyskać. Wielkości   określają prawdopodobieństwa otrzymania wartości   w pomiarze.

Jeżeli operator   jest operatorem położenia   to zamiast sumy w powyższym wzorze jest całka; wektory własne operatora położenia oznacza się jako   wielkościami mierzonymi są położenia   wartości funkcji falowej są równe iloczynom skalarnym wektora stanu z wektorem  

 

zaś prawdopodobieństwo otrzymania układu w położeniu   wynosi  

Interpretacje znaczenia funkcji falowejEdytuj

Według interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics, Hermann, New York 1977, tom I.

PrzypisyEdytuj

  1. Berman, Paul R., Introductory quantum mechanics : a traditional approach emphasizing connections with classical physics, Cham, ISBN 978-3-319-68598-4, OCLC 1021193408 [dostęp 2019-02-27].
  2. Zobacz też: Semicircular potential well

Linki zewnętrzneEdytuj