Funkcja jednorodna

Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia $n$ używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami, w tym grupy abelowe (czyli moduły nad pierścieniem liczb całkowitych).

Definicja

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K.$ Funkcja $f\colon X\to Y$ nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych $a\in K$ oraz $\mathbf {x} \in X$ zachodzi

$f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).$

Jeżeli dla $a>0$ oraz $n\in \mathbb {N}$ zachodzi wzór

$f(a\mathbf {x} )=a^{n}f(\mathbf {x} ),$

to funkcję $f$ nazywa się jednorodną stopnia $n$.

Jeśli funkcja $f$ spełnia dla każdego $\mathbf {x} \in X$ oraz $a\in K,$ gdzie $K$ jest ciałem uporządkowanym, warunek

$f(a\mathbf {x} )=|a|f(\mathbf {x} ),$

to nazywa się ją dodatnio jednorodną.

Przykłady

• Przykładem funkcji jednorodnej jest dowolne przekształcenie liniowe (wprost z definicji), np. $f(\mathbf {x} )=3\mathbf {x} ,$ ponieważ $f(a\mathbf {x} )=3(a\mathbf {x} )=a(3\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).$
• Traktując wyznacznik $\det \nolimits _{n}$ jako funkcję macierzy kwadratowych ustalonego stopnia $n$ otrzymuje się $\det \nolimits _{n}(a\mathbf {A} )=a^{n}\det \nolimits _{n}(\mathbf {A} ),$ gdzie $\mathbf {A}$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia $n$.
• Dla dowolnej normy $\|{\cdot }\|,$ (a nawet półnormy) wprost z definicji zachodzi tożsamość $\|a\mathbf {x} \|=|a|\,\|\mathbf {x} \|.$

Zobacz też

• równanie różniczkowe

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Homogeneous Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-09-16].
• Homogeneous function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-16].