Otwórz menu główne

Funkcja jednorodnafunkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami, w tym grupy abelowe (czyli moduły nad pierścieniem liczb całkowitych).

DefinicjaEdytuj

Niech   będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem   Funkcja   nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych   oraz   zachodzi

 

Jeżeli dla   oraz   zachodzi wzór

 

to funkcję   nazywa się jednorodną stopnia  

Jeśli funkcja   spełnia dla każdego   oraz   gdzie   jest ciałem uporządkowanym, warunek

 

to nazywa się ją dodatnio jednorodną.

PrzykładyEdytuj

  • Przykładem funkcji jednorodnej jest dowolne przekształcenie liniowe (wprost z definicji), np.   ponieważ  
  • Traktując wyznacznik   jako funkcję macierzy kwadratowych ustalonego stopnia   otrzymuje się   gdzie   jest dowolną macierzą kwadratową stopnia  [a].
  • Dla dowolnej normy   (a nawet półnormy) wprost z definicji zachodzi tożsamość  

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Również dla   co wynika z  -liniowości wyznacznika   traktowanego jako funkcja   wektorów   należących do przestrzeni liniowej wymiaru