Funkcja kardynalna

Funkcja kardynalnafunkcja której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.

Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.

Funkcje kardynalne w teorii mnogościEdytuj

  • Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru   przyporządkowuje jego moc  
  • Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech   będzie takim ideałem podzbiorów zbioru   który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:
 
 
 
 
  • Dla praporządku   określa się liczbę nieograniczoną   oraz liczbę dominującą   tego praporządku przez
 
 

Funkcje kardynalne w topologiiEdytuj

Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych[1][2]. Na przykład rozważa się następujące funkcje kardynalne:

  • Ciężar przestrzeni   to   jest bazą topologii na  
  • Gęstość przestrzeni   to  
  • Celularność przestrzeni   to
  jest rodziną parami rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów  
  • Ciasność przestrzeni   w punkcie   to
 
i ciasność przestrzeni   to  
  • Rozciągłość przestrzeni   to
  z topologią podprzestrzeni jest przestrzenią dyskretną 

Funkcje kardynalne w teorii algebr Boole’aEdytuj

Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole’a[3][4]. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:

  • Celularność   algebry Boole’a   jest to supremum mocy antyłańcuchów w  
  • Długość   algebry Boole’a   to
  jest łańcuchem 
  • Głębokość   algebry Boole’a   to
  jest dobrze uporządkowanym łańcuchem 
  • Nieporównywalność   algebry Boole’a   to
  oraz  
  • Pseudociężar   algebry Boole’a   to
  oraz  

Funkcje kardynalne w algebrzeEdytuj

Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:

  • Wymiar przestrzeni liniowej   nad ciałem 
  • Dla modułu wolnego   nad pierścieniem przemiennym   wprowadza się rangę   jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
  • Dla podprzestrzeni   przestrzeni liniowej   rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem  ).
  • Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej   rozważa się rangi   i   (dla wszystkich liczb pierwszych  ) dane przez rozkład
 
(Powyżej,   jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych,   jest grupą addytywną liczb wymiernych, a   jest grupą  -quasi cykliczną).

Funkcje kardynalne w analizie funkcjonalnejEdytuj

  • Dla przestrzeni Banacha   rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw. ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór   jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element   jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów  ). Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów[5].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Juhász, István: Cardinal functions in topology. „Mathematical Centre Tracts”, nr 34. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1971.
  2. Juhász, István: Cardinal functions in topology – ten years later. „Mathematical Centre Tracts”, 123. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. ​ISBN 90-6196-196-3​.
  3. Monk, J. Donald: Cardinal functions on Boolean algebras. „Lectures in Mathematics ETH Zürich”. Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. ​ISBN 3-7643-2495-3​.
  4. Monk, J. Donald: Cardinal invariants on Boolean algebras. „Progress in Mathematics”, 142. Birkhäuser Verlag, Basel, ​ISBN 3-7643-5402-X​.
  5. Singer, Ivan: Bases in Banach spaces. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981, s. 571–603, ​ISBN 3-540-10394-5​.