Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa – funkcja wielomianowa drugiego stopnia, czyli postaci:

$f(x)=x^{2}-x-2$

$f(x)=ax^{2}+bx+c,$

gdzie $a,b,c$ są pewnymi stałymi, przy czym $a\neq 0$ (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do funkcji liniowej). Funkcja kwadratowa jest wyznaczona przez pewien wielomian drugiego stopnia, dlatego nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistej dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach, jednak funkcje te można definiować w dowolnym ciele.

Postacie funkcji kwadratowej

Postać ogólna (wielomianowa)

Jest to postać podana w definicji we wstępie

$f(x)=ax^{2}+bx+c,$

gdzie $a,b,c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a\neq 0$.

Postać kanoniczna

$f(x)=a(x-p)^{2}+q,$

gdzie:

$p=-{\tfrac {b}{2a}},\quad q=-{\tfrac {\Delta }{4a}},\quad \Delta =b^{2}-4ac.$

Wyrażenie $\Delta$ nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej $f.$

Postać kanoniczną można wyprowadzić z postaci ogólnej:

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=ax^{2}+bx+{\tfrac {b^{2}}{4a}}-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+c\\&=a\left(x^{2}+2x{\tfrac {b}{2a}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+{\tfrac {4ac}{4a}}\\&=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a}}.\end{aligned}}$

Postać kanoniczna ułatwia określenie wykresu.

Postać iloczynowa

$f(x)=a\left(x-{\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right).$

Przedstawienie takie jest możliwe, o ile tylko wyróżnik $\Delta$ jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek). W dziedzinie zespolonej jest zawsze możliwe – jeżeli $\Delta <0,$ to

${\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {4ac-b^{2}}},$

gdzie $i$ jest jednostką urojoną.

Postać iloczynową można wyprowadzić z postaci kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów:

${\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=a(x-{\tfrac {-b}{2a}})^{2}-{\tfrac {\Delta }{4a}}\\&=a\left[\left(x-{\tfrac {-b}{2a}}\right)^{2}-{\tfrac {\Delta }{4a^{2}}}\right]\\&=a\left(x-{\tfrac {-b}{2a}}-{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right).\end{aligned}}$

Postać iloczynowa ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych (o ile istnieją).

Miejsca zerowe

• $\Delta >0.$

Oznaczając

$x_{1}={\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\;\;{}$ oraz ${}\;\;x_{2}={\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},$

można postać iloczynową zapisać

$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}),$

gdzie $x_{1},x_{2}$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej,

• $\Delta =0,$

wówczas $x_{1}=x_{2}=p={\tfrac {-b}{2a}}$ i postać iloczynowa ma postać:

$f(x)=a(x-p)^{2}.$

Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu wyznaczającego funkcję; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne)

• $\Delta <0.$

Funkcja kwadratowa nie ma postaci iloczynowej i nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych.

W liczbach zespolonych istnieją zawsze dwa rozwiązania (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia ${\sqrt {\Delta }},$ są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète’a wynika (także w dziedzinie zespolonej), że

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\tfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}={\tfrac {c}{a}}.\end{cases}}$

Wykres

Funkcja kwadratowa $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dla różnych wartości współczynników $a,b,c.$

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę. Jej wierzchołkiem jest punkt $(p,q),$ gdzie $p,q$ są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor $[p,q]$ względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią $OX$ układu. W szczególności $p={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},$ co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:

• $a>0$ daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi $OY,$ jeżeli $a<0,$ to są one skierowane przeciwnie,
• zwiększanie $|a|$ sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
• zmiana $b$ powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią $OY$ przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem $OX,$ jeżeli $b<0,$ lub przeciwnie do niego, jeżeli $b>0,$
• parametr $c$ odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż $OY$ zgodnie z jej zwrotem, gdy $c>0,$ lub przeciwnie do niego, gdy $c<0.$

Każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi $OY.$ Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli

$f_{1}(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1},$

$f_{2}(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2},$

to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem $f_{2}(x)$ względem paraboli będącej wykresem $f_{1}(x)$ jest równa

$k=\left|{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right|.$

Własności i przebieg zmienności

Niżej zakłada się, iż $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=ax^{2}+bx+c{:}$

• dziedzina i przeciwdziedzina: określona wszędzie; zbiorami wartości są przedział $[q,\infty )$ dla $a>0$ i przedział $(-\infty ,q]$ dla $a<0,$
• monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale $(-\infty ,p],$ po czym rośnie (maleje) w przedziale $[p,\infty )$ dla $a>0\;(a<0),$
• ciągłość, różniczkowalność, całkowalność: w całej dziedzinie, funkcja gładka; całkowalna w sensie Riemanna, Lebesgue’a itd.,
• pochodne:

$f'(x)=2ax+b,$

$f''(x)=2a,$

$f^{(n)}\equiv 0\;\;{}$ dla $n>2,$

• funkcja pierwotna

$F(x)={\tfrac {1}{3}}ax^{3}+{\tfrac {1}{2}}bx^{2}+cx+C,$

• ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie $p$ (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla $a>0$ i maksimum dla $a<0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej),
• wypukłość: wypukła dla $a>0$ i wklęsła dla $a<0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej),
• parzystość i nieparzystość: parzysta wyłącznie dla $b=0,$ nigdy nieparzysta,
• okresowość, punkty przegięcia i asymptoty: brak.

Konforemność

Funkcja kwadratowa $w(z)=z^{2},$ gdzie $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) $z$ w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) $w.$ Siatka izometryczna $z$ składa się z dwóch rodzin hiperbol:

${\begin{cases}u=x^{2}-y^{2},\\v=2xy.\end{cases}}$

Punktami stałymi tego odwzorowania są $0$ oraz $1$.

Przykłady i zastosowania

• Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
• Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
• Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
• Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
• Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.
• Suma ciągu arytmetycznego, na przykład kolejnych liczb naturalnych (tak zwana liczba trójkątna), jest kwadratową funkcją liczby wyrazów.

• W kinematyce: dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu. Przyspieszenie dośrodkowe jest kwadratową funkcją prędkości liniowej lub kątowej.
• W dynamice: dla wysokich prędkości opór ośrodka jest kwadratową funkcją prędkości.
• Energia kinetyczna jest kwadratową funkcją prędkości lub pędu.
• Energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego prawo Hooke’a jest kwadratową funkcją położenia.
• Rzut ukośny, przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego trajektorią jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola.

Zobacz też

• funkcja liniowa
• jednorodna funkcja kwadratowa
• równanie kwadratowe, równanie dwukwadratowe

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.