Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowafunkcja wielomianowa drugiego stopnia, czyli postaci

gdzie są pewnymi stałymi, przy czym (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do funkcji liniowej). Funkcja kwadratowa jest wyznaczona przez pewien wielomian drugiego stopnia[a], dlatego nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistej dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach, jednak funkcje te można definiować w dowolnym ciele.

Postacie funkcji kwadratowejEdytuj

Postać ogólna (wielomianowa)Edytuj

Jest to postać podana w definicji we wstępie[1]

 

gdzie   są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i  [1].

Postać kanonicznaEdytuj

 

gdzie:

 [1]

Wyrażenie   nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej  

Postać kanoniczną można wyprowadzić z postaci ogólnej:

 

Postać kanoniczna ułatwia kreślenie wykresu.

Postać iloczynowaEdytuj

 

Przedstawienie takie jest możliwe, o ile tylko wyróżnik   jest nieujemny[1] (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek). W dziedzinie zespolonej jest zawsze możliwe – jeżeli   to

 

gdzie   jest jednostką urojoną.

Postać iloczynową można wyprowadzić z postaci kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów:

 

Postać iloczynowa ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych (o ile istnieją).

Miejsca zeroweEdytuj

  •  
Oznaczając
  oraz  
można postać iloczynową zapisać
 
gdzie   są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej[1],
  •  
wówczas  [1] i postać iloczynowa ma postać:
 
Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe[1] (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu wyznaczającego funkcję; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne)
  •  
Funkcja kwadratowa nie ma postaci iloczynowej i nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych[1].

W liczbach zespolonych istnieją zawsze dwa rozwiązania (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia   są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète’a wynika (także w dziedzinie zespolonej), że

 

WykresEdytuj

 
Funkcja kwadratowa   dla różnych wartości współczynników  
Zobacz też: wykres funkcji.

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę[1]. Jej wierzchołkiem jest punkt   gdzie   są dane jw.[1], który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor   względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią   układu. W szczególności   co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali:

  •   daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi   jeżeli   to są one skierowane przeciwnie[1],
  • zwiększanie   sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”,
  • zmiana   powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią   przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem   jeżeli   lub przeciwnie do niego, jeżeli  
  • parametr   odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż   zgodnie z jej zwrotem, gdy   lub przeciwnie do niego, gdy  

Każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi   Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli

 
 

to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem   względem paraboli będącej wykresem   jest równa

 

Własności i przebieg zmiennościEdytuj

Niżej zakłada się, iż  

 
 
  dla  
 
  • ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie   (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla   i maksimum dla   (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej),
  • wypukłość: wypukła dla   i wklęsła dla   (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej),
  • parzystość i nieparzystość: parzysta wyłącznie dla   nigdy nieparzysta,
  • okresowość, punkty przegięcia i asymptoty: brak.

KonforemnośćEdytuj

Funkcja kwadratowa   gdzie   jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną)   w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną)   Siatka izometryczna   składa się z dwóch rodzin hiperbol:

 

Punktami stałymi tego odwzorowania są   oraz  [2].

Przykłady i zastosowaniaEdytuj

  • Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
  • Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
  • Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.
  • Suma ciągu arytmetycznego, na przykład kolejnych liczb naturalnych (tak zwana liczba trójkątna), jest kwadratową funkcją liczby wyrazów.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki   należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce.

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e f g h i j k Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 4, ISBN 978-83-940902-1-0.
  2. Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976, s. 636.

BibliografiaEdytuj

  • Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.