Otwórz menu główne

Funkcja kwadratowafunkcja wielomianowa drugiego stopnia, czyli postaci

gdzie są pewnymi stałymi, przy czym (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do przypadku funkcji liniowej; to założenie będzie obowiązywać w całym artykule). Funkcja kwadratowa realizuje pewien wielomian[a] (drugiego stopnia), z tego powodu nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistej dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach.

Przykłady i zastosowaniaEdytuj

  • Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
  • Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
  • Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
  • Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.
  • Suma ciągu arytmetycznego, na przykład kolejnych liczb naturalnych (tak zwana liczba trójkątna), jest kwadratową funkcją liczby wyrazów.

PostacieEdytuj

O funkcji kwadratowej danej wzorem

 

gdzie   są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, mówi się, że jest w postaci ogólnej lub wielomianowej. Skoro

 

to funkcję kwadratową można przedstawić również wzorem

 

gdzie   zaś   Mówi się wtedy, że jest ona w postaci kanonicznej; ułatwia ona kreślenie wykresu. Wyrażenie

 

nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej  

Ponieważ

 

o ile tylko wyróżnik   jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek), to funkcję wielomianową   daje się przedstawić w postaci iloczynowej, która ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych:

 

Przedstawienie takie jest zawsze możliwe w dziedzinie zespolonej: jeżeli   to

 

gdzie   jest jednostką urojoną.

Miejsca zeroweEdytuj

  • Oznaczając wyżej
        oraz    
otrzymuje się wzór
 
gdzie   są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej dla  
  • Jeżeli   to   i funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu przez nią realizowanego; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne), czyli można ją zapisać wzorem
     
  • Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych, gdy   Nadal istnieją jednak dwa rozwiązania w liczbach zespolonych (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia   są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète’a wynika (także w dziedzinie zespolonej), iż

 

WykresEdytuj

 
Funkcja kwadratowa   dla różnych wartości współczynników  
Zobacz też: wykres funkcji.

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę. Jej wierzchołkiem jest punkt   gdzie   są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor   względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią   układu. W szczególności   co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We wspomnianym układzie, przy zachowaniu skali:

  •   daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi   jeżeli   to są one skierowane przeciwnie
  • zwiększanie   sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”
  • zmiana   powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią   przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem   jeżeli   lub przeciwnie do niego, jeżeli  
  • parametr   odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż   zgodnie z jej zwrotem, gdy   lub przeciwnie do niego, gdy  

Własności i przebieg zmiennościEdytuj

Niżej zakłada się, iż  

 
 
  dla  
 
  • ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie   (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla   i maksimum dla   (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej)
  • wypukłość: wypukła dla   i wklęsła dla   (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej)
  • parzystość i nieparzystość: parzysta wyłącznie dla   nigdy nieparzysta
  • okresowość, punkty przegięcia i asymptoty: brak.

KonforemnośćEdytuj

Funkcja kwadratowa   gdzie   jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną)   w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną)   Siatka izometryczna   składa się z dwóch rodzin hiperbol:

 

Punktami stałymi tego odwzorowania są   oraz  [1].

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki   należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce.

PrzypisyEdytuj

  1. Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976, s. 636.

BibliografiaEdytuj

  • Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.