Funkcja lokalnie całkowalna

Funkcja lokalnie całkowalna – funkcja która jest całkowalna na każdym zbiorze zwartym, ale może nie być całkowalna na zbiorach otwartych. Takie funkcje mają zastosowanie w analizie funkcjonalnej i odgrywają także ważną rolę w teorii dystrybucji. Pojęcie funkcji lokalnie całkowalnych można uogólnić do pojęcia funkcji lokalnie p-całkowalnych.

DefinicjaEdytuj

Zdefiniujemy funkcje lokalnie całkowalne oraz przestrzeń funkcyjną   Niech   będzie zbiorem otwartym i niech   będzie funkcją mierzalną względem miary Lebesgue’a. Funkcję   nazwiemy lokalnie całkowalną, jeśli dla każdego zbioru zwartego   całka Lebesgue’a jest skończona, czyli

 

Zbiór wszystkich takich funkcji oznaczymy  [1]. Jeśli utożsamimy ze sobą te funkcje z   które są równe prawie wszędzie, to otrzymamy w ten sposób przestrzeń unormowaną  [2].

Równoważna definicja wypływa z teorii dystrybucji:

 

gdzie   oznacza przestrzeń funkcji mierzalnych z   do   (ściślej: klas równoważności funkcji mierzalnych, które są równe prawie wszędzie), a   jest przestrzenią funkcji testowych.

PrzykładyEdytuj

  • Funkcja charakterystyczna nieograniczonego zbioru   jest całkowalna lokalnie, ale nie jest całkowalna.
  • Wszystkie funkcje przestrzeni   są lokalnie całkowalne. W szczególności więc wszystkie funkcje ciągłe są lokalnie całkowalne.
  • Funkcja dana wzorem
 
nie jest lokalnie całkowalna, bo nie jest całkowalna na żadnym zbiorze zwartym zawierającym  

Funkcja lokalnie p-całkowalnaEdytuj

Analogicznie do   możemy zdefiniować również przestrzeń   Niech   będzie zbiorem otwartym lub σ-zwartym. Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję   nazwiemy lokalnie p-całkowalną, jeśli wyrażenie

 

istnieje dla ustalonego   wszystkich zbiorów zwartych  [3].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Wiesbaden: Springer Spektrum, 2017, s. 58. ISBN 978-3-658-16745-5. (niem.)
  2. Mathworld: LocallyIntegrable (ang.). [dostęp 2021-04-14].
  3. Juha Heinonen: Lectures on analysis on metric spaces. Springer, 2001, s. 5. ISBN 0-387-95104-0. (niem.)