Funkcja lokalnie ograniczona

Funkcję nazywa się lokalnie ograniczoną, jeżeli jest ograniczona w otoczeniu każdego punktu dziedziny.

Rodzina funkcji jest lokalnie ograniczona, jeżeli w każdym punkcie dziedziny wszystkie funkcje rodziny są lokalnie ograniczone.

Przykłady

• Funkcja $f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ dana wzorem

$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$

jest ograniczona, bo $0\leqslant f(x)\leqslant 1$ dla wszystkich $x.$ Dlatego jest też lokalnie ograniczona.

• Funkcja $f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ dana wzorem

$f(x)=2x+3$

nie jest ograniczona, gdyż rośnie nieograniczenie np. dla $x\to +\infty ,$ Jednak jest lokalnie ograniczona, bo dla wszystkich $a,|f(x)|\leqslant M$ w przedziale $(a-1,\,a+1),$ gdzie $M=2|a|+5.$

• Funkcja $f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ dana wzorem

$f(x)={\frac {1}{x}}$

dla $x=0$ nie jest lokalnie ograniczona, bo przyjmuje wartości dowolnie duże w pobliżu zera.

Zobacz też

• funkcja ograniczona

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018.