Funkcja ograniczona
Ten artykuł od 2011-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji. |
Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.
Funkcja nieograniczona – funkcja, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.
Ograniczoność z góry i z dołuEdytuj
Funkcja jest ograniczona z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby.
Funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby.
Funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.
Ciągi ograniczoneEdytuj
Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w oczywisty sposób na ciągi. Każdy zbieżny ciąg liczbowy jest ograniczony.
Topologia i analiza funkcjonalnaEdytuj
Funkcję o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej kuli. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości funkcji.
Funkcję o wartościach w przestrzeni liniowo-topologicznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest zbiorem ograniczonym. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, to obie definicje są równoważne.
PrzykładyEdytuj
- Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału
- Funkcje są nieograniczone. Funkcja kwadratowa jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone.
- Ciąg jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału
- Ciąg choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony.
- Ciąg nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.
- Odległość punktów (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma) – to funkcje ograniczone z dołu przez zero, ale nie z góry.
- Długość krzywej (np. obwód figury), pole powierzchni i objętość – przykłady miar, które z definicji są ograniczone z dołu przez zero.
- Prawdopodobieństwo – miara ograniczona z dołu przez 0, z góry przez 1.