Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „okres (matematyka)”. Zobacz też: inne znaczenia hasła „okres”.

Funkcja okresowafunkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:

Sin proportional.svg

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

Definicja dla funkcji liczbowychEdytuj

Niech   oraz niech   będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze   Okresem funkcji   nazywamy dowolną liczbę   różną od zera (niekiedy zakłada się, że  ) o następujących własnościach:

  1. dla dowolnej liczby   również liczby   należą do   (niekiedy opuszcza się warunek  )
  2. dla każdego   zachodzi równość  

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową; funkcję o okresie   nazywa się czasem skrótowo funkcją  -okresową. Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji   istnieje najmniejszy, nazywamy go okresem podstawowym (lub zasadniczym). Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji Dirichleta, danej wzorem

 

okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę   dla której wyrażenie   ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla   a w konsekwencji i dla     itd. (oraz     itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by   (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji   powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku   kładąc bowiem   zamiast   w warunku 2, otrzymujemy  

Jeśli   jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby   też jest okresem funkcji.

Definicja dla półgrupEdytuj

Niech   będzie półgrupą, a   funkcją określoną na   Jeśli istnieje taki element   w   (nie będący elementem neutralnym), że   dla dowolnego   to nazywamy go okresem funkcji   a samą funkcję nazywamy okresową.

Zauważmy, że powyższa definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bowiem tym razem nie założyliśmy istnienia odpowiednika liczby   Jeśli   jest grupą, to oczywiście warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym) oraz że w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

Przykłady funkcji okresowychEdytuj

Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne ( -okresowe sinus, cosinus, secans, cosecans, oraz  -okresowe tangens, cotangens), funkcja stała (której okresem jest każda liczba różna od zera), funkcja wykładnicza rozpatrywana na zbiorze liczb zespolonych, której okresem podstawowym jest  

Suma i iloczyn funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie i okresie   są funkcjami okresowymi o okresie   Okres podstawowy nie musi być zachowany, może się zmniejszyć lub przestać istnieć. Na przykład:  

Jeśli funkcja okresowa   o okresie   jest różniczkowalna, to jej pochodna   również jest funkcją okresową o okresie  

Zobacz teżEdytuj