Funkcja okresowa

Funkcja okresowafunkcja, której wartości „powtarzają się” cyklicznie w stałych odstępach (ścisła definicja poniżej). Klasycznym jej przykładem jest funkcja sinus:

Sin proportional.svg

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

Definicja dla funkcji liczbowychEdytuj

Niech   oraz niech   będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze   Okresem funkcji   nazywamy dowolną liczbę   różną od zera (niekiedy zakłada się, że  ) o następujących własnościach:

  1. dla dowolnej liczby   również liczby   należą do   (niekiedy opuszcza się warunek  )
  2. dla każdego   zachodzi równość  

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową[1]; funkcję o okresie   nazywa się czasem skrótowo funkcją  -okresową.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę   dla której wyrażenie   ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla   a w konsekwencji i dla     itd. (oraz     itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by   (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji   powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku   kładąc bowiem   zamiast   w warunku 2, otrzymujemy  

Przykłady i podtypyEdytuj

Przykładami funkcji okresowych są:

 
Jej okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji   istnieje najmniejszy, to nazywa się go okresem podstawowym lub zasadniczym[potrzebny przypis]. Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji stałych oraz funkcji Dirichleta.

Jeśli funkcja okresowa ma dodatkowe właściwości – zwane warunkami Dirichleta – to jest równa swojemu szeregowi Fouriera.

Na płaszczyźnie zespolonej szczególnie istotne są funkcje eliptyczne (dwuokresowe).

WłasnościEdytuj

  • Jeśli   jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby   też jest okresem funkcji.
  • Suma i iloczyn funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie i okresie   są funkcjami okresowymi o okresie  . Okres podstawowy nie musi być zachowany, może się zmniejszyć lub przestać istnieć. Na przykład:  .
  • Ogólniej: jeśli dwie funkcje okresowe mają okresy współmierne, tj.  , to suma tych funkcji również jest okresowa[1]. W przeciwnym wypadku ta suma jest funkcją prawie okresową[1].
  • Jeśli funkcja okresowa   o okresie   jest różniczkowalna, to jej pochodna   również jest funkcją okresową o okresie  [potrzebny przypis].

Definicja dla półgrupEdytuj

Niech   będzie półgrupą, a   funkcją określoną na   Jeśli istnieje taki element   w   (nie będący elementem neutralnym), że   dla dowolnego   to nazywamy go okresem funkcji   a samą funkcję nazywamy okresową.

Ta definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bo tym razem nie założono istnienia odpowiednika liczby   Jeśli   jest grupą, to warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że:

  • samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym);
  • w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c funkcja okresowa, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-03-11].