Otwórz menu główne

Funkcja różniczkowalna

funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny

Funkcja różniczkowalnafunkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny, i której wartość w każdym jej punkcie jest skończona (różna od i ).

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej dziedzinie co funkcja.

Funkcja n-krotnie różniczkowalnaEdytuj

Definicja:

(1) Jeżeli funkcja   ma pochodną   określoną w zbiorze   oraz funkcja   ma pochodną   określoną w zbiorze   to mówimy, że

  •   jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze  
  • funkcja   jest drugą pochodną funkcji   określoną na zbiorze  

(2) Funkcję nazywa się  -krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje   kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.

Funkcja klasy Edytuj

MotywacjaEdytuj

Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy   w przeciwnym zaś razie o funkcji mówi się, że jest klasy   Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna  -tego rzędu była ciągła – stąd ogólna definicja funkcji klasy  

Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą analityczność.

DefinicjaEdytuj

(1) Funkcję   określoną na przedziale   nazywa się funkcją klasy   gdzie   jeżeli w przedziale   ma   ciągłych pochodnych.

(2) Funkcje klasy   to funkcje ciągłe.

(3) Funkcje klasy   (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę   nazywa się też klasą funkcji gładkich.

PrzykładyEdytuj

 

jest klasy   ale nie jest klasy  

Zobacz teżEdytuj