Funkcja uwikłana

Funkcja uwikłanafunkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako [1].

DefinicjaEdytuj

Niech   będą przestrzeniami unormowanymi,   oraz   będzie ciągła. Każdą funkcję   gdzie   jest pewnym podzbiorem   spełniającą dla każdego   równanie   nazywamy funkcją uwikłaną funkcji   albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie  

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania   względem  

PrzykładyEdytuj

  • Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta   tego punktu równa jest   Parametr   oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość   utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej   odpowiada innej chwili   Można więc mówić o funkcji   która przypisuje każdej pozycji punktu   cykloidy wartość   – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji   Funkcja   nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci   jest to funkcja uwikłana przez równanie  
  • Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech   oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś   natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe   zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach:   Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem   na oporniku i płynącym przezeń prądem   
 
gdzie   oznacza wartość rezystancji.
Związek pomiędzy napięciem   panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:
 
w którym   – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś  podstawa logarytmu naturalnego.
Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:
 
 
To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem   przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu  
   
Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie  

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanejEdytuj

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji   która jest określona w pewnym otoczeniu punktu   spełnia w tym otoczeniu warunek   oraz   Jest to możliwe tylko wtedy, gdy   i   są tak dobrane, że   Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanejEdytuj

Niech   będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli   jest zbiorem otwartym, a   funkcją klasy   i dla pewnego punktu  

  oraz pochodna cząstkowa  

to istnieją liczby   i   oraz funkcja   klasy   że

  1.  
  2. dla każdego punktu   jedynym punktem   spełniającym równanie   jest punkt  

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanejEdytuj

Niech   będą przestrzeniami Banacha,   będzie zbiorem otwartym oraz   funkcją klasy   taką, że różniczka cząstkowa   dla każdego   Dalej niech dana będzie funkcja ciągła   gdzie   jest podzbiorem otwartym przestrzeni   Jeżeli dla każdego  

  oraz  

to   jest funkcją klasy   i dla każdego   różniczka:

 

Funkcje rzeczywisteEdytuj

Niech   będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja   jest klasy   i dla pewnego punktu   spełnia warunki:

  oraz  

to w pewnym otoczeniu punktu   istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła   spełniająca warunki   oraz   dla   z tego otoczenia.

Ponadto jeśli w otoczeniu punktu   istnieje ciągła pochodna cząstkowa   to funkcja uwikłana   ma ciągłą pochodną daną wzorem

 

Inne twierdzeniaEdytuj

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech   będą przestrzeniami Banacha,   będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli   są funkcjami klasy   takimi, że

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera   że

 

PrzypisyEdytuj

  1. funkcja uwikłana, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2015-02-19].

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj