Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów.

Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i „na”. Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

Definicja formalna

W teorii mnogości bijekcja definiowana jest jako podzbiór $f\subseteq X\times Y$ iloczynu kartezjańskiego zbiorów $X$ i $Y,$ który spełnia następujące warunki:

• $\forall _{x\in X}\;\exists _{y\in Y}\quad x\;f\;y.$
• $\forall _{y\in Y}\;\exists _{x\in X}\quad x\;f\;y.$
• $\forall _{x,y\in X}\;\forall _{z\in Y}\quad x\;f\;z\land y\;f\;z\implies x=y.$
• $\forall _{x\in X}\;\forall _{y,z\in Y}\quad x\;f\;y\land x\;f\;z\implies y=z.$

(Symbol $x\;f\;y$ oznacza, że para $(x,y)$ jest elementem relacji $f$.)

Słownie: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny i odwrotnie.

Wnioski

• Przeciwdziedzina jest równa obrazowi funkcji, $Y=f(X).$
• Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją.

• 

  Iniekcyjna funkcja niesurjekcyjna (iniekcja, nie bijekcja)

• 

  Iniekcyjna surjekcyjna funkcja (bijekcja)

• 

  Nieinjekcyjna surjekcyjna funkcja (surjekcja, nie bijekcja)

• 

  Nieinjekcyjna niesurjekcyjna funkcja (również nie bijekcja)

Grupa bijekcji

Ponieważ działanie składania bijekcji danego zbioru (na siebie) jest łączne i jest ono automorfizmem, a każda bijekcja posiada jednoznacznie określoną do niej funkcję odwrotną, to wówczas spełnione są aksjomaty grupy. Grupę taką nazywa się grupą bijekcji tego zbioru i są to historycznie pierwsze rozważane grupy.

Zobacz też

• funkcja różnowartościowa (iniekcja)
• funkcja „na” (suriekcja)
• izomorfizm