Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcja wzajemnie jednoznaczna, bijekcja – wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między elementami dwóch zbiorów, czyli funkcja będąca jednocześnie iniekcją i suriekcją (funkcją różnowartościową i funkcją „na”). Równoważnie:

• funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją;
• przy bijekcji obraz i przeciwobraz każdego singletonu również jest singletonem.

Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów

Diagram przemienny ilustrujący bijekcje jako funkcje odwracalne

Bijekcje pozwalają zdefiniować rozmaite relacje równoważności między obiektami, m.in.:

• równoliczności zbiorów w kombinatoryce i teorii mnogościi,
• izomorfizmu struktur w algebrze abstrakcyjnej i teorii kategorii;
• homeomorfizmu, izometrii i dyfeomorfizmu przestrzeni w topologii.

Duże znaczenie odgrywają też bijekcje endofunkcyjne, tj. przekształcające zbiór w siebie (f:X→X). Bywają nazywane permutacjami – zwłaszcza dla zbiorów skończonych – i tworzą struktury znane jako grupy symetryczne; przekształcenia te pozwalają zdefiniować symetrię figur i innych obiektów. Bijekcje zbioru w siebie po nałożeniu dodatkowych warunków tworzą podgrupy grup symetrycznych, np. grupy alternujące, grupy automorfizmów, izometrii czy dyfeomorfizmów. Szczególnym rodzajem endobijekcji są też inwolucje i inne funkcje torsyjne (skończonego rzędu).

Termin bijekcja powstał najpóźniej w 1954 roku, kiedy pojawił się w pracy zespołu Nicolas Bourbaki.

Przykłady

• Alfabet – ciąg liter danej ortografii, zawierający wszystkie z nich (suriektywność) i każdą dokładnie raz (iniektywność);
• listy obecności – ciągi wszystkich osób z ustalonego zbioru;
• zmiana systemu liczbowego – np. z dziesiętnego na rzymski lub binarny – to bijekcja między zbiorami napisów przedstawiających liczby;
• logarytm w dziedzinie rzeczywistej;
• dowolna iniekcja z przeciwdziedziną zawężoną do obrazu tej funkcji.

Bijekcje działające wewnątrz ustalonego zbioru:

• dowolna niestała funkcja liniowa (funkcja stopnia pierwszego) zmiennej rzeczywistej; tworzą one grupę afiniczną prostej rzeczywistej;
• niektóre inne wielomiany rzeczywiste stopnia nieparzystego, np. x³;
• homografie zmiennej rzeczywistej, również tworzące grupę;
• niektóre pierwiastniki, np. (x−1)^1/3;
• sinus i tangens hiperboliczny.

Przykłady zawiera też artykuł o inwolucjach.

Grupa bijekcji

Rozważając zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru można przekonać się o tym, że:

• składanie funkcji jest działaniem dwuargumentowym w tym zbiorze,
• działanie to jest łączne,
• funkcja tożsamościowa jest elementem neutralnym tego działania,
• każda bijekcja ma jednoznacznie określoną do niej bijekcję odwrotną.

W ten sposób zbiór bijekcji z działaniem ich składania spełnia aksjomaty grupy i nazywa się grupą bijekcji.

Tego rodzaju grupy były historycznie jednymi z pierwszych rozważanych grup. Okazuje się, że grupy bijekcji są modelem wszystkich możliwych grup abstrakcyjnych, tj. dowolną grupę można przedstawić w postaci pewnej grupy bijekcji (twierdzenie Cayleya).

Zobacz też

• Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera – warunek równoważny na istnienie bijekcji.