Funkcja wzajemnie jednoznaczna

funkcja różnowartościowa i „na”

Funkcja wzajemnie jednoznaczna, bijekcjawzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między elementami dwóch zbiorów, czyli funkcja będąca jednocześnie iniekcją i suriekcją (funkcją różnowartościową i funkcją „na”). Równoważnie:

Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów
Diagram przemienny ilustrujący bijekcje jako funkcje odwracalne

Bijekcje pozwalają zdefiniować rozmaite relacje równoważności między obiektami, m.in.:

Duże znaczenie odgrywają też bijekcje endofunkcyjne, tj. przekształcające zbiór w siebie (f:XX). Bywają nazywane permutacjami – zwłaszcza dla zbiorów skończonych – i tworzą struktury znane jako grupy symetryczne; przekształcenia te pozwalają zdefiniować symetrię figur i innych obiektów. Bijekcje zbioru w siebie po nałożeniu dodatkowych warunków tworzą podgrupy grup symetrycznych, np. grupy alternujące, grupy automorfizmów, izometrii czy dyfeomorfizmów. Szczególnym rodzajem endobijekcji są też inwolucje i inne funkcje torsyjne (skończonego rzędu).

Termin bijekcja powstał najpóźniej w 1954 roku, kiedy pojawił się w pracy zespołu Nicolas Bourbaki[2].

PrzykładyEdytuj

  • Alfabet – ciąg liter danej ortografii, zawierający wszystkie z nich (suriektywność) i każdą dokładnie raz (iniektywność);
  • listy obecności – ciągi wszystkich osób z ustalonego zbioru;
  • zmiana systemu liczbowego – np. z dziesiętnego na rzymski lub binarny – to bijekcja między zbiorami napisów przedstawiających liczby;
  • logarytm w dziedzinie rzeczywistej;
  • dowolna iniekcja z przeciwdziedziną zawężoną do obrazu tej funkcji.

Bijekcje działające wewnątrz ustalonego zbioru:

Przykłady zawiera też artykuł o inwolucjach.

Grupa bijekcjiEdytuj

Osobny artykuł: grupa bijekcji.

Rozważając zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru można przekonać się o tym, że:

W ten sposób zbiór bijekcji z działaniem ich składania spełnia aksjomaty grupy i nazywa się grupą bijekcji.

Tego rodzaju grupy były historycznie jednymi z pierwszych rozważanych grup. Okazuje się, że grupy bijekcji są modelem wszystkich możliwych grup abstrakcyjnych, tj. dowolną grupę można przedstawić w postaci pewnej grupy bijekcji (twierdzenie Cayleya).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. bijekcja, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-12-16].
  2.   Jeff Miller, Injection, surjection and bijection [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-12-16].