Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcja wzajemnie jednoznaczna a. bijekcja – funkcja, w której każdemu elementowi dziedziny odpowiada jeden i tylko jeden element przeciwdziedziny; wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między elementami dwóch zbiorów, czyli funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów.

Własności

• Przeciwdziedzina jest równa obrazowi bijekcji.
• Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją.

• 

  Iniekcja niesurjekcyjna (niebijekcyjna)

• 

  Bijekcja

• 

  Surjekcja nieiniekcyjna (niebijekcyjna)

• 

  Funkcja niebędąca ani iniekcją, ani surjekcją (tym bardziej nie bijekcją)

Grupa bijekcji

Rozważając zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru można przekonać się o tym, że:

• składanie funkcji jest działaniem dwuargumentowym w tym zbiorze,
• działanie to jest łączne,
• funkcja tożsamościowa jest elementem neutralnym tego działania,
• każda bijekcja ma jednoznacznie określoną do niej bijekcję odwrotną.

W ten sposób zbiór bijekcji z działaniem ich składania spełnia aksjomaty grupy i nazywa się grupą bijekcji.

Tego rodzaju grupy były historycznie jednymi z pierwszych rozważanych grup. Okazuje się, że grupy bijekcji są modelem wszystkich możliwych grup abstrakcyjnych, tj. dowolną grupę można przedstawić w postacji pewnej grupy bijekcji (twierdzenie Cayleya).

Zobacz też

• funkcja różnowartościowa (iniekcja)
• funkcja „na” (suriekcja)
• izomorfizm