Funkcje cyklometryczne

funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych

Funkcje cyklometryczne, funkcje kołowe, arkfunkcje[1]funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów[2].

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

  • arcus sinus (arcsin) jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cosinus (arccos) jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus tangens (arctg) jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cotangens (arcctg) jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus secans (arcsec) jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cosecans (arccsc) jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

  • arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną

Zależności między funkcjami cyklometrycznymiEdytuj

 
 
 

Argumenty ujemneEdytuj

 
 
 
 
 
 

Odwrotności argumentówEdytuj

 
 
 
 
 
 
 
 

Pochodne i całkiEdytuj

PochodneEdytuj

  •  
  •  
  •  
  •  


CałkiEdytuj

  •  
  •  
  •  
  •  

PrzykładyEdytuj

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Oto wykresy kolejnych funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych, które parami są symetryczne względem prostej  :

PrzypisyEdytuj

  1. Arkfunkcje, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-15].
  2. Funkcje cyklometryczne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-15].