Otwórz menu główne

Funkcje cyklometryczne

funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

  • arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus secans jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cosecans jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

  • arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną

Zależności między funkcjami cyklometrycznymiEdytuj

 
 
 

Argumenty ujemne:

 
 
 
 
 
 

Odwrotności argumentów:

 
 
 
 
 
 
 
 

PrzykładyEdytuj

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Oto wykresy funkcji     oraz prosta   Wykresy obu funkcji są symetryczne względem tej prostej.

 

Analogicznie, wykresy funkcji     są symetryczne względem prostej  

 

Wykresy funkcji     są symetryczne względem prostej  

 

Wykresy funkcji     są symetryczne względem prostej