Funkcje eliptyczne

Funkcje eliptyczne – funkcje określone na zbiorze liczb zespolonych, które są dwuokresowe, tj. periodyczne wzdłuż dwóch kierunków (np. zarówno względem osi liczb urojonych, jak i osi liczb rzeczywistych). Funkcje eliptyczne na płaszczyźnie zespolonej są analogią funkcji trygonometrycznych na osi liczb rzeczywistych. Nazwa funkcje eliptyczne pochodzi stąd, iż po raz pierwszy pojawiły się one jako funkcje odwrotne do całek eliptycznych, które z kolei nazwę swą wzięły stąd, iż były badane w związku z problemem obliczania długości łuku elipsy.

Funkcja eliptyczna jest to funkcja meromorficzna $f$ określona na zbiorze liczb zespolonych $\mathbb {C} ,$ dla której istnieją dwie niezerowe liczby zespolone $a$ i $b$ spełniające równanie:

$f(z+a)=f(z+b)=f(z)$ dla wszystkich $z$ w zbiorze $\mathbb {C}$

oraz takie, aby stosunek ${\frac {a}{b}}$ nie był liczbą rzeczywistą. Wtedy:

$f(z+ma+nb)=f(z)$ dla wszystkich $z$ w zbiorze $\mathbb {C}$ oraz $m$ i $n$ będących liczbami naturalnymi.

Rozwój teorii funkcji eliptycznych opiera się na $\wp$-funkcji wprowadzonej przez Karla Weierstrassa. Każda funkcja eliptyczna może być przedstawiona za pomocą $\wp$-funkcji. Definicja funkcji eliptycznych, wprowadzona przez Carla Jacobiego przy użyciu funkcji theta (niedwuokresowej), jest bardziej złożona, ale również stosowana.

Definicje. Twierdzenia

Def. Okresem funkcji zespolonej nazywa się każdą taką liczbę zespoloną $\omega ,$ że $f(z+\omega )=f(z)$ dla wszystkich $z$ w zbiorze $\mathbb {C} .$

Def. Okresami pierwotnymi funkcji eliptycznej nazywamy takie dwa okresy $a$ i $b,$ że każdy inny okres $\omega$ może być zapisany jako $\omega =ma+nb,$ gdzie $m$ i $n$ to liczby całkowite.

Tw. Każda funkcja eliptyczna ma parę okresów pierwotnych, lecz nie są to pary unikatowe. Tw. Jeśli $a$ i $b$ są okresami pierwotnymi opisującymi kratę, to ta sama krata może być opisana przez parę okresów pierwotnych $a'=pa+qb$ i $b'=ra+qb,$ gdzie $p,q,r$ i $s$ są liczbami całkowitymi oraz spełniają równanie $ps-qr=1.$

Innymi słowy, jeśli $a$ i $b$ są okresami pierwotnymi, to $a'$ i $b'$ również nimi są.

Def. Równoległoboku pierwotnego

Jeśli $a$ i $b$ są okresami pierwotnymi, to każdy równoległobok o wierzchołkach $z,z+a,z+b,z+a+b$ jest nazywany równoległobokiem pierwotnym.

Tw. Zwielokrotnianie równoległoboków pierwotnych przez kolejne mnożenia $a$ i $b$ przez liczby całkowite daje kolejne równoległoboki pierwotne, w których funkcja $f$ ma te same własności (okresowość).

Tw. Pochodna funkcji eliptycznej jest również funkcją eliptyczną mającą ten sam okres.

Zobacz też

• całki eliptyczne
• funkcje eliptyczne Jacobiego
• funkcje eliptyczne Weierstrassa