Otwórz menu główne

Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcje parzyste i nieparzystefunkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja jest:

  • parzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem zmiany znaku argumentu);
  • nieparzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).

Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich należących do dziedziny funkcji Powyższe równości wymagają, aby wraz z do dziedziny należał również punkt stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera.

PrzykładyEdytuj

Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza, a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje parzyste
Funkcje nieparzyste
  • funkcja liniowa   (proporcjonalność prosta),
  • funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku:  
  • funkcje trygonometryczne       i    
  • funkcje hiperboliczne       i    
  • wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np.  ),
  • funkcja signum,
  • funkcja błędu Gaussa,
  • funkcja Gudermanna,
  • całka Fresnela.

WłasnościEdytuj

  • Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami funkcji pustej oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są różnowartościowe.
  • Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią przestrzenie liniowe.
  • Każdą funkcję   dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej   i nieparzystej   gdzie dla każdego   z dziedziny
      oraz  
  • Przykładami powyższego rozkładu są   oraz  
  • Niech   będą funkcjami parzystymi, a   funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
    •   oraz   (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
    •   oraz   (tam, gdzie jest określona) są funkcjami nieparzystymi,
    •   jest funkcją parzystą (  jest tu złożeniem funkcji),
    •   jest funkcją nieparzystą.

WykresyEdytuj

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi   a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli   należy do dziedziny nieparzystej funkcji   to   (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).

Rozszerzenie na inne algebryEdytuj

Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, czy w ogólności ciał. Definicje mają jednak sens także dla pierścieni, a nawet grup.