Funkcjonał

Funkcjonał (forma) – przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń: wektorom przyporządkowuje skalary – liczby rzeczywiste lub zespolone. Gdy przestrzenią wektorową jest przestrzeń funkcji, to argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem funkcjonał uważany jest za funkcję funkcji. Analogicznym pojęciem w informatyce jest funkcja wyższego rzędu.

Funkcjonał w takim wypadku jest szczególnym przypadkiem operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.

PrzykładyEdytuj

DualnośćEdytuj

Osobny artykuł: Moduł dualny.

(1) Funkcja

 

przekształca argument   na wartość funkcji   w punkcie  

(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji   całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu   tj.

 

Jeśli   jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie   wyznaczone przez dany argument   odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją – funkcję   – nazywa się wtedy dualną do funkcji   a obydwie funkcje są funcjonałami liniowymi.

Całka oznaczonaEdytuj

Osobny artykuł: Całka oznaczona.

Całki postaci

 

gdzie:

  – funkcja o wartościach rzeczywistych,

tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję   na liczbę rzeczywistą.

W szczególności należą do tej klasy:

  • pole pod wykresem nieujemnej funkcji  
 
 
 

Iloczyn skalarnyEdytuj

Osobny artykuł: Iloczyn skalarny.

Dla danego wektora   z przestrzeni wektorowej   iloczyn skalarny   z wektorem   oznaczony   lub   jest skalarem. Dlatego   wyznacza funkcjonał:

 

Równanie funkcyjneEdytuj

Osobny artykuł: Równanie funkcyjne.

Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci   są funkcje, dla których wartości funkcjonałów   i   są równe. Na przykład funkcja jest addytywna, jeśli spełnia równanie funkcyjne:

 

Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalnaEdytuj

Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.

Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.

Forma a funkcjonałEdytuj

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał:

(1) Gleichgewicht[1] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od określenia forma. Ten ostatni termin oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
 
zwanej formą liniową, [...]

a potem

(10.4)  
[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową.

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np.   powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

(2) Lang[2] używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej   (nad ciałem  ) w ciało   Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd.).

  • Natomiast Komorowski[3] używa jedynie określenia forma, pisząc:
Elementy przestrzeni   nazywamy formami liniowymi na   często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w.   nazywamy formami n-liniowymi.

(3) Musielak[4] pisze:

[...] operator liniowy   nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 175–177, ​ISBN 83-01-03903-5​.
  2. Serge Lang: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973.
  3. Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 68.
  4. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 120.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj