Funkcjonał

wspólna nazwa kilku typów funkcji matematycznych

Funkcjonał – wieloznaczne pojęcie matematyczne, opisujące różne typy funkcji; przeważnie są definiowane przeciwdziedziną, a czasem też dziedziną w sensie zbioru argumentów. Według różnych autorów funkcjonał to funkcja:

  1. o wartościach liczbowych[1];
  2. o wartościach liczbowych na zbiorze funkcji[2][a];
  3. rzeczywista lub zespolona określona na dowolnym zbiorze[3][4];
  4. rzeczywista lub zespolona na dowolnym zbiorze funkcji[3][5];
  5. z przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów[6];
  6. powyższego typu będąca jednocześnie przekształceniem liniowym[7];
  7. rzeczywista na przestrzeni liniowej[8] nad ciałem liczb rzeczywistych[9];
  8. rzeczywista na przestrzeni Banacha lub jej podzbiorze[10].

Trzecie ani czwarte znaczenie nie są rozłączne z piątym, ponieważ:

Funkcjonał w szóstym znaczeniu to inaczej forma, przy czym termin ten miewa też inne znaczenie[11]. Tak rozumiany funkcjonał (forma) to szczególny przypadek operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.

Przykłady edytuj

Dualność edytuj

Osobny artykuł: Moduł dualny.

(1) Funkcja

 

przekształca argument   na wartość funkcji   w punkcie  

(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji   całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu   tj.

 

Jeśli   jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie   wyznaczone przez dany argument   odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją – funkcję   – nazywa się wtedy dualną do funkcji   a obydwie funkcje są funkcjonałami liniowymi.

Całka oznaczona edytuj

Osobny artykuł: Całka oznaczona.

Całki postaci

 

gdzie:

  – funkcja o wartościach rzeczywistych,

tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję   na liczbę rzeczywistą.

W szczególności należą do tej klasy:

  • pole pod wykresem nieujemnej funkcji  
 
 
 

Iloczyn skalarny edytuj

Osobny artykuł: Iloczyn skalarny.

Dla danego wektora   z przestrzeni wektorowej   iloczyn skalarny   z wektorem   oznaczony   lub   jest skalarem. Dlatego   wyznacza funkcjonał:

 

Równanie funkcyjne edytuj

Osobny artykuł: Równanie funkcyjne.

Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci   są funkcje, dla których wartości funkcjonałów   i   są równe. Na przykład funkcja jest addytywna, jeśli spełnia równanie funkcyjne:

 

Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalna edytuj

Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.

Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.

Forma a funkcjonał edytuj

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał:

(1) Gleichgewicht[6] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od określenia forma. Ten ostatni termin oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
 
zwanej formą liniową, [...]

a potem

(10.4)  
[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową.

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np.   powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

(2) Lang[7] używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej   (nad ciałem  ) w ciało   Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd.).

  • Natomiast Komorowski (1978) używa jedynie określenia forma, pisząc[12]:
Elementy przestrzeni   nazywamy formami liniowymi na   często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w.   nazywamy formami n-liniowymi.

(3) Musielak (1976) pisze[13]:

[...] operator liniowy   nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

  1. Argumentem tak rozumianego funkcjonału jest funkcja, dlatego czasem funkcjonały nazywa się funkcjami funkcji. Analogicznym pojęciem w informatyce jest funkcja wyższego rzędu.

Przypisy edytuj

  1. Moszner 1974 ↓, s. 83.
  2. Żakowska 1972 ↓, s. 89.
  3. a b funkcjonał, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-22].
  4.   Functional (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-22].
  5. Hasło funkcjonał [w:] Encyklopedia popularna PWN, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982, ISBN 83-01-01750-3, s. 223.
  6. a b Gleichgewicht 1983 ↓, s. 175–177.
  7. a b Lang 1973 ↓.
  8. Todd Rowland, Functional, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-12-23].
  9. Krysicki i Włodarski 2006 ↓, s. 44.
  10. Pierzchalski 1995 ↓, s. 334.
  11. forma, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-12-22].
  12. Komorowski 1978 ↓, s. 68.
  13. Musielak 1976 ↓, s. 120.

Bibliografia edytuj

Literatura dodatkowa edytuj