Otwórz menu główne

Funkcjonał (forma) – przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń: wektorom przyporządkowuje skalary – liczby rzeczywiste lub zespolone. Gdy przestrzenią wektorową jest przestrzeń funkcji, to argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem funkcjonał uważany jest za funkcję funkcji.

Funkcjonał w takim wypadku jest szczególnym przypadkiem operatora, czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w rachunku wariacyjnym, który polega na znajdowaniu ekstremum funkcjonału, zwanego działaniem Hamiltona (tzw. zasada najmniejszego działania). Szczególnie istotnym zastosowaniem w fizyce jest znajdowanie stanu układu, dla którego funkcjonał energii osiąga minimum.

PrzykładyEdytuj

DualnośćEdytuj

Osobny artykuł: Moduł dualny.

(1) Funkcja

 

przekształca argument   na wartość funkcji   punkcie  

(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji   całej rodziny funkcji, takiej że poszczególne funkcje zależą od argumentu   tj.

 

Jeśli   jest przekształceniem liniowym z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie   wyznaczone przez dany argument   odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją; funkcję   nazywa się wtedy dualną do funkcji   a obydwie funkcje są funcjonałami liniowymi.

Całka oznaczonaEdytuj

Osobny artykuł: Całka oznaczona.

Całki postaci

 

gdzie:

  – funkcja o wartościach rzeczywistych,

tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję   na liczbę rzeczywistą.

W szczególności należą do tej klasy:

  • pole pod wykresem nieujemnej funkcji  
 
 
 

Iloczyn skalarnyEdytuj

Osobny artykuł: Iloczyn skalarny.

Dla danego wektora   z przestrzeni wektorowej   iloczyn skalarny   z wektorem   oznaczony   lub   jest skalarem. Dlatego   wyznacza funkcjonał:

 

Równanie funkcyjneEdytuj

Osobny artykuł: Równanie funkcyjne.

Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci   są funkcje, dla których wartości funkcjonałów   i   są równe. Na przykład funkcja jest addytywna, jeśli spełnia równanie funkcyjne:

 

Pochodna funkcjonalna i całka funkcjonalnaEdytuj

Pochodna funkcjonalna niesie informację o zmianie wartości funkcjonału przy niewielkiej zmianie funkcji będącej jego argumentem. Pochodne funkcjonalne używane są w mechanice klasycznej i rachunku wariacyjnym.

Richard Feynman zastosował całki funkcjonalne w swoim sformułowaniu mechaniki kwantowej. Zastosowanie to przewiduje całkowanie nad pewną przestrzenią funkcyjną.

Forma a funkcjonałEdytuj

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów forma i funkcjonał:

(1) Gleichgewicht[1] wyraźnie rozróżnia termin funkcjonał od zwrotu forma. Ten ostatni zwrot oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

[...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
 
zwanej formą liniową, [...]

a potem

(10.4)  
[...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się formą dwuliniową.

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np.   powyżej) są konsekwentnie określane jako funkcjonały.

(2) Lang[2] używa określenia funkcjonał na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej   (nad ciałem  ) w ciało   Słowo forma jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o formach wieloliniowych, formach kwadratowych itd.).

  • Natomiast Komorowski[3] używa jedynie określenia forma, pisząc
Elementy przestrzeni   nazywamy formami liniowymi na   często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko formami.

W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:

Elementy p.w.   nazywamy formami n-liniowymi.

(3) Musielak[4] pisze

[...] operator liniowy   nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową.

Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu funkcjonał liniowy.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 175–177, ​ISBN 83-01-03903-5​.
  2. Serge Lang: Algebra. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973.
  3. Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 68.
  4. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 120.

BibliografiaEdytuj