Otwórz menu główne

Funktor (teoria kategorii)

odwzorowanie jednej kategorii w drugą (w teorii kategorii)

W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii do drugiej zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe. Można o nim myśleć jako o homomorfizmie wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.

Pojęcie kategorii, funktora i naturalnych transformacji funktorów wprowadzili do matematyki Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane w 1945[1].

Spis treści

DefinicjeEdytuj

Funktor (czyli funktor kowariantny)   z kategorii   do   to dwa przyporządkowania:

  • jedno z nich, przyporządkowanie obiektowe z   do   które każdemu obiektowi   kategorii   przyporządkowuje obiekt   kategorii  
  • drugie zaś, przyporządkowanie morfizmowe z   do   które każdemu morfizmowi   kategorii   przyporządkowuje morfizm   kategorii  

Przyporządkowania te mają spełniać następujące dwa warunki:

  • dla każdego obiektu   kategorii   zachodzi  
  • dla każdych dwóch morfizmów     kategorii   zachodzi  

Niech   oznacza kategorię dualną do   Przez funktor kontrawariantny z   do   rozumiemy funktor kowariantny z   do   Funktor taki zamienia kierunki strzałek na przeciwne i odwraca kolejność składania[a].

Można też rozważać funktory wielu zmiennych, zwane multifunktorami, określone na odpowiednio zdefiniowanym produkcie kategorii   W przypadku n=2 używa się nazwy bifunktor. Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.

Jeśli   i   są dwoma funktorami, to ich złożenie   powstaje przez złożenie poszczególnych przyporządkowań obiektowych   dla   i przyporządkowań morfizmowych   dla   w  

Funktor   nazywa się izomorfizmem kategorii   i   gdy istnieje funktor   taki, że oba złożenia   i   są odpowiednimi funktorami tożsamościowymi, tzn. takimi, że odpowiadające im przyporządkowania są tożsamościami. Łatwo sprawdzić, że funktor   jest izomorfizmem kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające mu przyporządkowania     są bijekcjami[2].

Przykłady funktorówEdytuj

  • Niech   oznacza grupę wolną generowaną przez zbiór   jej wolnych generatorów,   Wówczas każda funkcja   ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu   W ten sposób otrzymuje się funktor kowariantny z kategorii Set (zbiorów i funkcji ze zbioru w zbiór) do kategorii Grp (grup i homomorfizmów)[b].
  • Funktory zapominania (ang. forgetful functors) to szeroka klasa funktorów polegających na pomijaniu jakiejś struktury lub jej części („zapominaniu” o niej). Na przykład przyporządkowując każdej grupie   jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnego działania) i każdemu homomorfizmowi   tę samą funkcję z   do   otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie określone są funktory zapominania z Vect  do Ab, bo każda przestrzeń liniowa jest też grupą abelową z działaniem +, a każdy operator liniowy jest zarazem homomorfizmem grup („zapomina się” o mnożeniu przez skalary). Można też rozważać np. funktor zapominania z Metr do kategorii Top przestrzeni topologicznych i przekształceń ciągłych („zapomina się” o metryce, zachowując wyznaczoną przez nią topologię).
  • Funktor   z Set do Set mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór   przyporządkowuje każdemu zbiorowi   zbiór   a każdej funkcji   przyporządkowuje funkcję   zdefiniowaną jako   dla     Analogicznie dla ustalonego obiektu   definiuje się funktor   z Set do Set.
  • Bifunktor   z Set Set do Set mnożenia kartezjańskiego przyporządkowuje każdej parze zbiorów   zbiór   a każdej parze funkcji     przyporządkowuje funkcję   zdefiniowaną jako   dla    
  • Funktorami między dwoma zbiorami częściowo uporządkowanymi (posetami) traktowanymi jako kategorie są funkcje monotoniczne.

Funktory główneEdytuj

Niech   będzie kategorią. Jeśli   są jej obiektami, oznaczmy przez   lub   zbiór wszystkich morfizmów z   do   Wymaga to założenia, że   jest kategorią lokalnie małą (tzn. taką, że owe klasy są zbiorami)[c].

Niech   będzie ustalonym obiektem. Jeżeli   jest morfizmem w   to dla każdego   należącego do   złożenie   należy do   Oznaczmy przez   opisane tu przyporządkowanie   Powstaje w ten sposób funktor kowariantny z   do Set, oznaczany   jest to funktor główny kowariantny wyznaczony przez obiekt  [d]. Bywa też zwany hom-functor (zwłaszcza w kontekście algebry) i oznaczany[3]

  lub   lub   lub  

Jeśli   jest ustalonym obiektem kategorii   to analogicznie definiuje się funktor główny kontrawariantny   przyporządkowujący każdemu morfizmowi   przekształcenie   przyporządkowujące morfizmom   należącemu do   złożenie   należące do  

Można też rozważać bifunktor główny   z   do Set, kontrawariantny w pierwszej zmiennej i kowariantny w drugiej.

Funktory wierne i pełneEdytuj

Załóżmy, że   jest funktorem. Obcinając przyporządkowanie   do zbioru   otrzymamy funkcję   z tego zbioru do   Mówimy, że funktor   jest wierny, gdy dla każdej pary obiektów   kategorii   indukowana funkcja   jest iniekcją. Jest to pojęcie ważne z uwagi na to, że często funktor wierny   nie jest iniektorem, tzn. warunek   nie pociąga tego, że   Np. funktor zapominania z kategorii Top przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych do Set jest wierny, ale nie jest iniektorem, bowiem jeżeli X, Y są dwiema przestrzeniami topologicznymi o tym samym nośniku (np. odcinek [0,1] ze zwykłą topologią i ten sam zbiór punktów z topologia dyskretną), to   i   są dwoma różnymi morfizmami w Top, a ich obrazy w Set są identyczne.

Mówimy, że funktor   jest pełny, gdy dla każdej pary obiektów   kategorii   indukowana funkcja   jest suriekcją. Funktor zapominania TopSet nie jest pełny, bowiem np. w obrazie zbioru   są funkcje nieciągłe. Podkategoria   kategorii   jest pełna, gdy funktor inkluzji podkategorii   jest pełny[4][5].

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Inne podejście do definicji funktora kontrawariantnego i dalsze przykłady znajdują się w Teoria kategorii#Funktory oraz Funktory sprzężone#Funktory sprzężone kontrawariantne.
  2. Kategoryjne podejście do pojęcia grupy wolnej i ogólniej obiektu wolnego w pewnych kategoriach opisane jest w części grupy wolne w Teoria kategorii#Zagadnienia jednoznacznej faktoryzacji.
  3. Kwestia ta omówiona jest w Teoria kategorii#Trudności związane z antynomiami teorii mnogości.
  4. Nazwa funktor główny jest analogiczna do nazwy ideał główny w pierścieniu Boole’a podzbiorów jakiejś przestrzeni – to ideał generowany przez pojedynczy zbiór  , czyli ideał wszystkich podzbiorów tego zbioru.

PrzypisyEdytuj

  1. Eilenberg, S. i Mac Lane, S., 1945, “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of the American Mathematical Society, 58: s. 231–294; http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf.
  2. Mac Lane 1971 ↓, s.14.
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Hom_functor.
  4. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 1.9.3..
  5. Mac Lane 1971 ↓, s. 15.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj