Funktory sprzężone

Funktory sprzężone – jedno z centralnych pojęć zaawansowanej teorii kategorii, ściśle związane z innymi ważnymi pojęciami, w szczególności z rozmaitymi zagadnieniami jednoznacznej faktoryzacji oraz z funktorami reprezentowalnymi poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami). W przeciwieństwie do wielu innych pojęć teorii kategorii, które można uznać za wysłowienie w języku kategorii intuicji oswojonych już w ramach algebry lub topologii, pojęcie funktora sprzężonego jest istotnie nowe.

Definicja funktorów sprzężonych kowariantnychEdytuj

Załóżmy, że   i  kategoriami, a   i  funktorami kowariantnymi. Zbiór morfizmów   kategorii   będziemy oznaczać symbolem   Funktor   nazywa się lewym sprzężonym do funktora   i zarazem   nazywa się prawym sprzężonym do   gdy istnieje naturalna równoważność bifunktorów:

 

(naturalna w obu zmiennych  )[1][2]. Będziemy używać zapisu typu   na oznaczenie naturalnej równoważności funktorów   Warunek sprzężoności zapisany w postaci   ułatwia zapamiętanie, który z funktorów jest lewym sprzężonym, a który prawym[a]. Ponadto optycznie przypomina to definicję   operatora sprzężonego w przestrzeni Hilberta.

Produkt i hom jako funktory sprzężoneEdytuj

Będziemy korzystać z tego, że dowolną funkcję dwóch zmiennych   tradycyjnie oznaczaną symbolem   można utożsamić z rodziną   funkcji jednej zmiennej   określonych jako   Ponieważ   gdzie   oznacza zbiór wszystkich funkcji   przyporządkowanie to prowadzi, przy ustalonym zbiorze   do naturalnej równoważności bifunktorów:

 

Znaczy to, że funktor   mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór   jest lewym sprzężonym do funktora głównego   wyznaczonego przez   Kreska   jest tu symbolem zmiennej (za którą podstawić można symbole obiektów i morfizmów).

Rozpatrzmy przypadek, gdy   jest kategorią   grup abelowych, kategorią   przestrzeni liniowych nad ciałem   lub ogólniej kategorią   modułów nad pierścieniem przemiennym   z jednością i oznaczmy przez   zbiór   zaopatrzony w strukturę obiektów danej kategorii. W ten sposób Hom staje się bifunktorem   Wiążąc to ze znanymi związkami bimorfizmów na produktach   (tzn. homomorfizmów względem każdej zmiennej osobno) z homomorfizmami na produktach tensorowych   stwierdzamy naturalną równoważność funktorów trzech zmiennych

  i  

gdzie   są symbolami tych zmiennych[3].

Zastosowania w teorii homotopiiEdytuj

Ze sprzężenia funktorów   i   wynikają dalsze związki, kluczowe dla teorii homotopii. Rozważmy kategorię   przestrzeni topologicznych   z wyróżnionymi punktami bazowymi   i przekształceń ciągłych zachowujących punkty bazowe. Jeśli   i   są obiektami, to przestrzeń   złożona z wszystkich par   takich, że   lub   jest ich koproduktem. Przestrzeń ilorazowa   zwana jest produktem ściągniętym (ang. smash product). Przez   oznaczymy zbiór morfizmów   z topologią zwarto-otwartą. Jeżeli  przestrzeniami Hausdorffa i   jest ustaloną przestrzenią lokalnie zwartą, to otrzymujemy równoważność naturalną:

 

Oznaczmy przez   sferę  -wymiarową   Przestrzeń   może być utożsamiona ze zredukowanym zawieszeniem przestrzeni   (ang. reduced suspension lub based suspension). W teorii homotopii odwzorowania ciągłe   zwane są pętlami (ang. loop) w przestrzeni   Funktor pętli   obiektowi   przyporządkowuje przestrzeń pętli w   tzn. zbiór   Wstawiając   do powyższej równoważności naturalnej funktorów   i   stwierdzamy, że funktor zawieszenia   z kategorii   do   jest lewym sprzężonym do funktora   Po przejściu do klas homotopii otrzymuje się równoważność naturalną[4]

 

gdzie   oznacza zbiór klas homotopii przestrzeni   Wykorzystując  -krotnie te sprzężenia i to, że   jest homeomorficzne z   otrzymuje się ciąg równoważności naturalnych:

 

w których   oznacza  -tą grupę homotopii przestrzeni  

Funktory sprzężone kontrawariantneEdytuj

W przypadku funktorów kontrawariantnych mamy dwa rodzaje sprzężenia. Mianowicie jeśli   i   są funktorami kontrawariantnymi, to wyznaczają one cztery funktory kowariantne[5].

 

Dokonuje się tego poprzez złożenia funktorów   z funktorami dualizacji[6].

 

Funktory kontrawariantne   nazywają się prawostronnie sprzężone, gdy   jest lewym sprzężonym do   Jest to równoważne temu, że   jest prawym sprzężonym do   Funktory   nazywają się lewostronnie sprzężone, gdy   jest prawym sprzężonym do   Jest to równoważne temu, że   jest lewym sprzężonym do  

Na przykład jeśli   jest ustaloną przestrzenią liniową nad ciałem   to kontrawariantny funktor   jest prawostronnie sprzężony sam do siebie.

Związek z pojęciem jednoznacznej faktoryzacjiEdytuj

Funktory sprzężone mogą być zdefiniowane w języku zagadnień jednoznacznej faktoryzacji. Mianowicie dowodzi się, że funktor kowariantny   jest lewym sprzężonym do funktora   wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje transformacja naturalna   z funktora tożsamościowego   do złożenia   taka, że dla dowolnych obiektów   i dowolnego morfizmu   kategorii   istnieje jeden i tylko jeden morfizm   kategorii   taki, że odpowiedni diagram komutuje, tzn.  [1].

Kluczowym narzędziem dowodowym w omawianym tu kręgu zagadnień jest lemat Yonedy.

Reflektory i quasi-reflektoryEdytuj

Załóżmy, że   jest podkategorią kategorii   Funktor   jest lewym sprzężonym do funktora inkluzji   wtedy i tylko wtedy, gdy jest reflektorem, tzn. ma następującą własność: Każdemu   przyporządkowany jest morfizm   w kategorii   (tu  ) mający własność jednoznacznej faktoryzacji: dla każdego   i każdego morfizmu   w podkategorii   istnieje jeden i tylko jeden morfizm   w   taki, że diagram komutuje, tj.   Podobnie definiuje się pojęcie quasi-reflektora jako lewego sprzężonego do funktora zapominania  

Liczne przykłady reflektorów i quasi-reflektorów można znaleźć w rozmaitych dziedzinach matematyki[7]. Oto niektóre z nich.

  • Uzupełnienie przestrzeni metrycznej (metodą Cantora) wraz z przedłużeniem przekształceń spełniających warunek Lipschitza z przestrzeni do ich uzupełnień wyznacza reflektor z kategorii   do podkategorii pełnej przestrzeni zupełnych.
  • Abelianizacja grupy[8]. Jeżeli   oznacza komutant grupy   to epimorfizmy kanoniczne   wyznaczają reflektor z   do  
  • Uprzemiennianie pierścienia   przez epimorfizm kanoniczny   gdzie   jest ideałem dwustronnym generowanym przez komutatory   wyznacza reflektor z kategorii pierścieni do podkategorii pełnej pierścieni przemiennych[9].
  • Grupa abelowa   nazywa się beztorsyjna, gdy każdy jej niezerowy element   ma rząd nieskończony, tzn.   dla   (  naturalne). Dla dowolnego obiektu   kategorii   kanoniczny epimorfizm z   na grupę ilorazową   (gdzie   jest podgrupą wszystkich elementów rzędu skończonego) ma powyższą własność jednoznacznej faktoryzacji i wyznacza reflektor z   do jej podkategorii pełnej grup beztorsyjnych[7].
  • Kategoria   przestrzeni wektorowych nad ciałem   liczb zespolonych nie jest podkategorią kategorii   ale można rozważać funktor zapominania   („zapomina się” o mnożeniu przez skalary urojone). Dla dowolnej przestrzeni wektorowej A nad ciałem   rozpatrujemy przyporządkowanie obiektowe funktora Φ jako Φ(A) = A×A z działaniem dodawania określonym jak w sumie prostej i mnożeniem wektora   przez skalar   określonym wzorem  [10].

Funktory reprezentowalneEdytuj

Funktor kowariantny   nazywa się reprezentowalny przez obiekt   gdy jest naturalnie równoważny funktorowi głównemu  

W analogiczny sposób definiuje się reprezentowalność funktora kontrawariantnego jako naturalną równoważność funktorowi  [11].

Na przykład funktor zapominania   który każdej przestrzeni topologicznej przyporządkowuje jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnej topologii), jest reprezentowalny przez przestrzeń jednopunktową. Podobnie funktor zapominania   z kategorii grup jest reprezentowalny przez grupę   (wolną o jednym generatorze).

Funktor kowariantny z \mathbf{Set} do \mathbf{Set}, którego przyporządkowaniem obiektowym jest   jest reprezentowalny przez zbiór   opiera się to na tym, że każdy element   zbioru   jest funkcją   odpowiadającą parze   w  

Kontrawariantny funktor potęgowy   jest też reprezentowalny przez zbiór   bowiem każdy element zbioru   (czyli funkcja z   do  ) jest funkcją charakterystyczną jakiegoś podzbioru zbioru  

Podstawowy związek między omawianymi tu pojęciami wyraża następujące twierdzenie[12]. Na to, aby funktor kowariantny   miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, aby dla każdego obiektu   istniał obiekt   taki, że funktor   z   do   jest reprezentowalny przez   Okazuje się, że wówczas  

Własności funktorów sprzężonychEdytuj

Załóżmy, że funktor   jest lewym sprzężonym do funktora   Wówczas funktory te mają następujące własności[13].

  •   zachowuje epimorfizmy, tzn. dla każdego epimorfizmu   kategorii   morfizm   kategorii   jest też epimorfizmem. Dualnie, funktor   zachowuje monomorfizmy.
  •   zachowuje koprodukty, tzn. jeżeli   jest koproduktem obiektów   w kategorii   to   jest koproduktem obiektów   w kategorii   Dotyczy to również koproduktów nieskończonych rodzin obiektów. Dualnie, funktor   zachowuje produkty.
  •   zachowuje obiekty początkowe, a   zachowuje obiekty końcowe.
  •   zachowuje koekwalizatory, a   zachowuje ekwalizatory.
  • Ogólniej,   zachowuje kogranice (końce) diagramów, a   zachowuje granice (początki) diagramów.

Twierdzenie Freyda o istnieniu funktora sprzężonegoEdytuj

W przypadku kategorii zupełnych powyższe własności funktora   są niemal warunkami dostatecznymi na istnienie lewego sprzężonego do  

Twierdzenie Freyda[14][15][16]. Załóżmy, że   jest kategorią zupełną i lokalnie małą. Na to, by funktor   miał lewy sprzężony, potrzeba i wystarcza, by   zachowywał granice diagramów oraz spełniał tzw. warunek zbioru rozwiązującego[b].

Warunek ten, dość skomplikowany, jest spełniony przez większość typowych kategorii. Wystarczy np. by kategoria   miała separator, tzn. obiekt   taki, że każdej pary morfizmów       istniał morfizm   taki, że   (takim obiektem   jest np. ciało skalarów w   oraz przedział [0,1] w  )[17].

Dalsze przykłady funktorów sprzężonychEdytuj

Pary funktorów sprzężonych ujawniają się w dość nieoczekiwanych miejscach. Wymienimy niektóre z nich.

1) W każdej algebrze Heytinga   dla każdego   funktor   z   w   o przyporządkowaniu obiektowym   jest lewym sprzężonym funktora   o przyporządkowaniu obiektowym  

2) Niech   oznacza jedyny funktor z danej kategorii   do kategorii   utworzonej ze zbioru jednoelementowego   i jego identyczności   Istnienie funktora   lewego sprzężonego do   jest równoważne istnieniu obiektu początkowego w   a istnienie funktora   prawego sprzężonego do   jest równoważne istnieniu obiektu końcowego w  [18].

3) Symbolem   oznaczmy kategorię, w której obiektami są formuły   języka logiki pierwszego rzędu, a morfizmami

 

są wynikania. Oczywiste zanurzenie   w którym   nie jest zmienną wolną w   jest funktorem. Z reguł rachunku kwantyfikatorów wynika, że funktor   jest lewym sprzężonym funktora   a funktor

 

jest prawym sprzężonym funktora  [18].

UwagiEdytuj

  1. Stwierdzenie, że „funktor   jest lewym sprzężonym” znaczy to samo co „funktor   ma prawy sprzężony”. Po angielsku   to left adjoint, a   to right adjoint. Niektórzy autorzy używają pary terminów: adjoint i coadjoint na lewy i prawy sprzężony odpowiednio, a inni – akurat odwrotnie. Tutaj używamy terminologii Mac Lane’a.
  2. Warunek ten można sformułować następująco: dla dowolnego obiektu   istnieje zbiór   o następującej własności: dla każdego   i każdego morfizmu   w   istnieją: obiekt   morfizm   w   i morfizm   w   takie, że  

PrzypisyEdytuj

  1. a b Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 4.5.
  2. Mac Lane 1971 ↓, s. 79.
  3. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 4.1.8.
  4. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, #2.5.6(E), #3.3.15(L), #4.5.13(C).
  5. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 4.6.
  6. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 2.3.6.
  7. a b Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 3.2.
  8. Białynicki-Birula 1987 ↓, Rozdział II, § 7.
  9. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 3.2, przykład 3.2.7.
  10. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 3.2.13.
  11. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 4.3.
  12. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 4.5.10.
  13. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 4.7.
  14. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 4.8.
  15. Mac Lane 1971 ↓, s. 116.
  16. M. Zawadowski, Elementy teorii kategorii, twierdzenie 6.9.
  17. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 2.9.
  18. a b B. Skowron, Gestalty w matematyce. O unifikującej sile sprzężeń funktorowych, w: R. Murawski, J. Woleński (red.), Problemy filozofii matematyki i informatyki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2018, s. 165–175.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj