Otwórz menu główne

Granica ciągu

pojęcie matematyczne

Granica ciągu – wartość, w dowolnym otoczeniu której znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu. Inaczej – wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Ciąg (nieskończony), to szczególny przypadek funkcji (różnią się tylko notacją), której dziedzina jest nieskończonym podzbiorem zbioru liczb naturalnych Granica ciągu jest jego granicą jako funkcji – w definicji przez ciągłość granicy funkcji wystarczy przyjąć (ponieważ jedynym punktem skupienia jest ). Wtedy otoczeniami są przedziały i definicja topologiczna ciągłości okazuje się równoważna definicjom podanym niżej.

Spis treści

Sekwencja określona przez obwody boków foremnych figur, ma granicę równą obwodowi okręgu, tj. Odpowiednia sekwencja dla wielokątów opisanych na okręgu ma taką samą granicę.
n n sin(1/n)
1 0,841471
2 0,958851
...
10 0,998334
...
100 0,999983

Dodatnia liczba całkowita staje się coraz większa, wartość staje się coraz bliższa Mówimy, że granica ciągu jest równa

Granica (właściwa) i zbieżnośćEdytuj

Niech   będzie nieskończonym ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę   nazywa się granicą ciągu   jeżeli

 

gdzie symbol   oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy   leżą w kole   z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale   który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

dla dowolnej dodatniej liczby   istnieje taki wskaźnik   że dla wszystkich wskaźników   większych od   wyrazy   leżą w kole o środku   i promieniu  

Granicę ciągu   oznacza się   i czyta się: „limes   przy   dążącym do nieskończoności” lub po prostu   i czyta się: „limes  ”, a fakt, że   jest granicą ciągu   niekiedy oznacza się   lub   i czyta się: „ciąg   dąży do  ” lub „ciąg   jest zbieżny do  ” (można dodać: „przy   dążącym do nieskończoności”).

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

 
Wykres ciągu zbieżnego   w kolorze niebieskim. Widzimy, że gdy   wzrasta, wartości ciągu zbliżają się do granicy 0.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

„Nieistnienie granicy ciągu” to nie to samo, co „granica ciągu jest równa 0”. Jeśli liczba   spełnia definicję granicy, to granica istnieje (i jest równa 0), natomiast może być tak, że żadna liczba   (nawet 0) nie spełnia definicji granicy, i wtedy granica nie istnieje.

Granice niewłaściweEdytuj

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Chodzi o ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; o takich ciągach mówi się także, że dążą one do nieskończoności.

Liczby rzeczywiste

Jeżeli   jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego   są większe od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w   bądź że jest rozbieżny do  

Jeżeli zaś są mniejsze od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ma on granicę niewłaściwą w   lub że jest rozbieżny do  

Formalnie można to zapisać tak:

ciąg   o wyrazach rzeczywistych ma
  • granicę niewłaściwą w  , jeżeli  
  • granicę niewłaściwą w  , jeżeli  
Liczby zespolone

Jeżeli   jest ciągiem liczb zespolonych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego   są większe co do modułu od dowolnej z góry wybranej liczby rzeczywistej, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w   bądź że jest rozbieżny do  

Formalnie:

ciąg   o wyrazach zespolonych ma
  • granicę niewłaściwą w  , jeżeli   Tutaj   oznacza moduł liczb zespolonych.

Geometrycznie można to ująć w następujący sposób:

ciąg   ma granicę niewłaściwą, jeśli dla dowolnie dużego koła o środku w   prawie wszystkie wyrazy ciągu   leżą na zewnątrz tego koła.

Wprowadzoną powyżej defincję rozbieżności ciągów zespolonych można bez zmian zastosować dla ciągów rzeczywistych, zastępując jedynie moduł liczby zespolonej   wartością bezwzględną liczby rzeczywistej. W praktyce jednak tej definicji nie stosuje się, bowiem traci się wówczas możliwość rozróżniania kierunku (zwrotu) rozbieżności ciągu.

IlustracjeEdytuj

PrzykładyEdytuj

  • Granicą ciągu   jest liczba   W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
  • Granicą ciągu   jest  
    Dla dowolnego   wystarczy za   wziąć dowolną liczbę naturalną większą od  [a] Wówczas dla dowolnego wskaźnika   otrzymuje się   czyli  
    Przykładowo dla   wszystkie wyrazy ciągu   oddalone są od zera o nie więcej niż  
  • Granicą ciągu   jest  
    Dla dowolnego   wystarczy za   wziąć dowolną liczbę naturalną większą od   Wtedy dla dowolnego indeksu   zachodzi   czyli   skąd  
    Przykładowo dla   wszystkie wyrazy ciągu   są oddalone od jedynki nie więcej niż o  
  • Ciąg   jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą  
  • Ciąg   jest rozbieżny i nie ma granicy niewłaściwej   ani   ale traktowany jako ciąg liczb zespolonych ma granicę niewłaściwą   (w sensie definicji dla ciągów zespolonych); podciąg   jest zbieżny do   natomiast podciąg   jest zbieżny do  
  • Ciągi   oraz   są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio   oraz   w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
  • Ciąg   gdzie   oznacza część ułamkową liczby, ma granicę dolną   i górną   każdy punkt przedziału   jest punktem skupienia.
  • Ciąg liczb zespolonych   nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej), ma jednak 4 punkty skupienia.
  • Ciąg liczb zespolonych   ma granicę niewłaściwą  

WłasnościEdytuj

  • Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
  • Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony[b][1]. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
  • Dowolny nieskończony podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
  • Jeśli ciągi   i   są zbieżne oraz   dla każdego naturalnego   to  
  • Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi   i   są zbieżne do wspólnej granicy   przy czym   dla każdego naturalnego   to ciąg   również jest zbieżny i to do granicy  
  • Jeśli ciągi   są ciągami zbieżnymi odpowiednio do   oraz do   to wykonalne są działania:
    •  
    •  
    •  
    •   o ile tylko   oraz   dla każdego  
  • Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: z każdego rzeczywistego lub zespolonego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.
  • Każdy ciąg liczb rzeczywistych monotoniczny i ograniczony ma granicę[c][d].
 
Wykres ciągu Cauchy’ego   oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi odciętych, wartość na osi rzędnych). Widzimy, że sekwencja wydaje się zbiegać do punktu granicznego, ponieważ wyrazy ciągu zbliżają się do siebie wraz ze wzrostem   W liczbach rzeczywistych każdy ciąg Cauchy’ego zbiega się do pewnej granicy.

Zbieżność w przestrzeniach metrycznychEdytuj

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej. Wystarczy w definicji granicy zastąpić wartość bezwzględną (moduł) różnicy dwóch liczb odległością według metryki danej przestrzeni. Niech   będzie przestrzenią metryczną. Ciąg   elementów tej przestrzeni jest zbieżny do   jeśli

 

Warunkiem równoważnym zbieżności ciągu   jest żądanie, by ciąg   gdzie   był zbieżny do  

Zbieżność w przestrzeni metrycznej można wyrazić:

ciąg   jest zbieżny do   jeśli w dowolnej kuli o środku w   mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu  

Jeśli ciąg (w przestrzeni metrycznej) jest zbieżny, to jest ciągiem Cauchy’ego (w przypadku ciągów liczbowych rzeczywistych lub zespolonych zachodzi również twierdzenie odwrotne, to znaczy powyższe warunki są równoważne).

Przykłady

  • Zbiór   jako przestrzeń metryczna z metryką   Podobnie ze zbiorem  
  • Zbiór   liczb wymiernych jako przestrzeń metryczna z metryką   W tej przestrzeni np. ciąg   nie jest zbieżny, chociaż jest rosnący i ograniczony.
  • Przestrzeniach liniowa z normą   jeśli przyjąć jako metrykę  
  • Przestrzeń, której elementami są punkty płaszczyzny o współrzędnych całkowitych, z odległością naturalną. W tej przestrzeni metrycznej ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego wskaźnika począwszy jest stały.

Zbieżność w przestrzeniach topologicznychEdytuj

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w jeszcze ogólniejszych przestrzeniach topologicznych przez zastąpienie kul otoczeniami.

Niech   będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg   elementów tej przestrzeni jest zbieżny do   jeśli

 

co można wyrazić:

dla dowolnego otoczenia   punktu   istnieje taki wskaźnik   że dla wszystkich wskaźników   wyrazy   leżą w otoczeniu  

lub inaczej:

w dowolnym otoczeniu   punktu   mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu  

W przestrzeniach Hausdorffa (którymi są m.in. przestrzenie liczb rzeczywistych lub zespolonych) każdy ciąg może być zbieżny do najwyżej jednego punktu[f].

Przykłady

  • Zbiór   z topologią, w której bazą jest zbiór przedziałów otwartych   Podobnie ze zbiorem   tutaj bazą może być zbiór kół otwartych postaci   lub prostokątów postaci  
  • Dowolna przestrzeń z topologią antydyskretną. Tutaj każdy ciąg jest ciągiem zbieżnym.
  • (Uzwarcenie prostej. 1 sposób) Przestrzeń topologiczna   uzupełniona o dwa elementy   z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci   oraz   Są to otoczenia otwarte punktów odpowiednio   i   Wówczas zbieżność ciągu do punktu   w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej   Analogicznie dla zbieżności do punktu   W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej   do   powstaje przestrzeń homeomorficzna z odcinkiem domkniętym oznaczana zazwyczaj  
  • (Uzwarcenie płaszczyzny) Przestrzeń topologiczna   uzupełniona o element   z bazą otoczeń w postaci kół uzupełnioną o zbiory postaci   (zewnętrza kół) lub z bazą w postaci prostokątów uzupełnioną o zbiory postaci   (zewnętrza prostokątów). Są to otoczenia otwarte punktu   Wówczas zbieżność ciągu zespolonego do punktu   w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej   W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej   do   powstaje przestrzeń homeomorficzna ze sferą oznaczana zazwyczaj   lub  
  • (Uzwarcenie prostej. 2 sposób) Przestrzeń topologiczna   uzupełniona element   z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci     Są to otoczenia otwarte punktu   Wówczas zbieżność ciągu do punktu   w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej   W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej   do   powstaje przestrzeń homeomorficzna z okręgiem oznaczana zazwyczaj   lub  

HistoriaEdytuj

Grecki filozof Zenon z Elei znany jest ze sformułowania paradoksów, które wykorzystują przejścia graniczne.

Leukippos, Demokryt, Antyfont, Eudoksos i Archimedes wynaleźli metodę wyczerpywania, która wykorzystuje ciąg przybliżeń umożliwiający wyznaczenie powierzchni bądź objętości. Archimedesowi znane było również sumowanie, które dziś nazywane jest szeregiem geometrycznym.

Newton zajmował się szeregami w swoich dziełach dotyczących analizy szeregów nieskończonych (Analysis with infinite series, napisane w 1669 roku, najpierw krążyło jako manuskrypt, opublikowano w 1711 roku), metodzie fluksji i szeregach nieskończonych (Method of fluxions and infinite series, napisane w 1671 roku, wydane w tłumaczeniu angielskim w 1736 roku; oryginał łaciński wydano znacznie później) i traktacie o krzywych kwadratowych (Tractatus de Quadratura Curvarum, napisane w 1693 roku, a opublikowane w 1704 roku jako dodatek do jego Optiks), później rozważał on rozwinięcie dwumienne   które linearyzuje, biorąc granice, tzn. przyjmując  

Osiemnastowiecznym matematykom, takim jak Euler, udawało się zsumować pewne szeregi rozbieżne dzięki zatrzymaniu się w odpowiednim momencie; nie interesowali się oni nadto tym, czy granica istnieje, o ile tylko mogła być ona obliczona. Pod koniec XVIII wieku Lagrange w swojej pracy Théorie des fonctions analytiques (1797) stwierdził, że brak rygoru przeszkadza w rozwoju analizy. Gauss w dziele o szeregach hipergeometrycznych (1813) po raz pierwszy zbadał w sposób rygorystyczny pod jakimi warunkami szereg zbiega do granicy.

Współczesną definicję granicy (dla każdego   istnieje taki wskaźnik   że…) została podana niezależnie przez Bernarda Bolzana (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, wówczas niezauważona) i Cauchy’ego w jego Cours d’analyse (1821).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Można tu skorzystać z aksjomatu Archimedesa.
  2. Dowód: niech dany będzie ciąg   zbieżny do   Niech   Wtedy z definicji zbieżności istnieje takie   że dla każdego   zachodzi   Z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:
     
    co oznacza, że
     
    Połóżmy teraz   Zbiór ten jest skończony, a zatem istnieje jedno wspólne ograniczenie wszystkich elementów   co oznacza, że jest on ograniczony.
  3. Dowód: Niech   będzie ciągiem rosnącym (rozumowanie dla malejącego jest analogiczne). Z założenia zbiór   ma ograniczenie, a zatem posiada kres górny   Wybierzmy   Z własności kresu górnego istnieje takie   dla którego zachodzi   Dla   dzięki monotoniczności, mamy
     
    a jednocześnie
     
    co oznacza, że
     
    ale to dowodzi, że   jest granicą ciągu  
  4. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
  5. Implikacja: jeśli ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, to jest zbieżny oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych i liczb zespolonych jest przestrzenią zupełną. Usunięcie z tych zbiorów jakiegokolwiek punktu powoduje utratę tej własności.
  6. W przestrzeniach, które nie są Hausdorffa, mogą istnieć ciągi zbieżne do większej liczby różnych punktów, wtedy granicą nazywa się zbiór takich punktów.

PrzypisyEdytuj

  1. Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003, s. 54–56. ISBN 83-7171-636-2.