Grupa Coxetera

Grupą Coxeteragrupa z wyróżnionym układem generatorów którego elementy spełniają następujący układ relacji:

gdzie:

czyli dla dowolnego
dla przy czym dla nie istnieje relacja między a [1].

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Harolda Coxetera. Grupy tego rodzaju są rozważane w teorii grup dyskretnych jako uogólnienie grup odbić[2] generowanych przez odbicia względem hiperpowierzchni w przestrzeni euklidesowej. Każda grupa odbić jest grupą Coxetera, jeśli jej generatorami są odbicia względem hiperpowierzchni ograniczających wielościan fundamentalny.

Macierz gdzie nazywa się macierzą Coxetera danej grupy Coxetera. Macierz ta i sama grupa może być zadana za pomocą grafu Coxetera – grafu o wierzchołkach w którym wierzchołki i są połączone -krotną krawędzią, jeśli (w szczególności nie są w ogóle połączone, jeśli ) i są połączone grubą krawędzią, jeśli Czasem zamiast łączyć wierzchołki grafu krawędziami wielokrotnymi, łączy się je jedną krawędzią ze znakiem nad nią.

WłasnościEdytuj

  • Jeśli   to mnożenie   przez   jest przemienne.
  •   jest rzędem elementu  

PrzykładyEdytuj

  • Każda grupa generowana przez dwa elementy rzędu 2 jest grupą Coxetera o macierzy postaci   Jej graf Coxetera:
  • Grupa symetryczna   jest grupą Coxetera względem generatorów   dla   (  jest transpozycją elementów   i  ). Jej graf Coxetera:
  • Macierzą Coxetera grupy   jest:
 
  • Grupa   jest grupą Coxetera względem generatorów:
 
Jej graf Coxetera:

Skończone grupy CoxeteraEdytuj

H.S.M. Coxeter w roku 1934 znalazł wszystkie grupy odbić w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej   i wykazał, że są one grupami Coxetera[3]. W następnej pracy[4] wykazał, że każda skończona grupa Coxetera jest izomorficzna z pewną grupą odbić w   której elementy mają wspólny punkt stały. W ten sposób otrzymał klasyfikację grup skończonych Coxetera.

 
Grafy (diagramy) Coxetera skończonych grup Coxetera[5].

Nieskończone grupy CoxeteraEdytuj

Wśród nieskończonych grup Coxetera można wyróżnić grupy paraboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić w przestrzeni euklidesowej   i grupy hiperboliczne, izomorficzne z pewną grupą odbić przestrzeni hiperbolicznej   elementy których nie mają wspólnej hiperpłaszczyzny niezmienniczej o wymiarze mniejszym od n (w przypadku hiperbolicznym za hiperpłaszczyznę należy uważać również punkt w nieskończoności[6]).

Wszystkie paraboliczne grupy Coxetera zostały znalezione przez H.S.M. Coxetera, który udowodnił, że są to afiniczne grupy Weyla z teorii półprostych grup Liego.

 
Diagramy Coxetera afinicznych grup Weyla

Związek z wielościanamiEdytuj

Jeśli przestrzeń jest n-wymiarową sferą, przestrzenią euklidesową lub przestrzenią hiperboliczną, to grupa odbić jest generowana przez odbicia   względem hiperpowierzchni   ograniczających wielościan fundamentalny   tej grupy. Względem tego układu generatorów grupa odbić jest grupą Coxetera o relacjach zdefiniowanych następująco:

  1. jeśli ściany   i   przylegają do siebie i kąt między nimi jest równy   to   gdzie  
  2. jeśli ściany   i   nie przylegają do siebie, to  

Wielościany fundamentalne grup Coxetera nazywają się wielościanami Coxetera. Wielościanami Coxetera można wypełnić przestrzeń. Mają więc związek z parkietażami i krystalografią.

PrzykładyEdytuj

  • Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
    • 2n-komórka foremna  
    • (n + 1)-komórka (n-sympleks)  
  • Wielościany Coxetera w n-wymiarowej sferze:
    • n-wymiarowy sympleks foremny o boku  
  • Wielościany Coxetera w n-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej:
    • k-wielokąt foremny o kącie   w przestrzeni 2-wymiarowej,
    • dwunastościan foremny (dodekaedr) prostokątny w przestrzeni 3-wymiarowej,
    • 120-ścian foremny prostokątny w przestrzeni 4-wymiarowej.

PrzypisyEdytuj

  1. Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979, s. 944.
  2. Harold Scott MacDonald Coxeter. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588–621, 1934. 
  3. Coxeter, Discrete groups generated by reflections, op. cit.
  4. Harold Scott MacDonald Coxeter. The groups determinated by the relations of the form  . „J. London Math. Soc.”. 10, s. 21–25, 1935. 
  5. Nicolas Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. T. XXXIV (rozdz. IV-VI). Paris: Hermann, 1968. (tłum. ros. 1972), s. 241.
  6. Математическая энциклопедия, op. cit., s. 945.

BibliografiaEdytuj

  • Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979.
  • Harold Scott MacDonald Coxeter. Discrete groups generated by reflections. „Ann. of Math.”. 35, s. 588–621, 1934. 
  • Harold Scott MacDonald Coxeter. The groups determinated by the relations of the form  . „J. London Math. Soc.”. 10, s. 21–25, 1935. 
  • Harold Scott MacDonald Coxeter, William Moser: Generators and relationsfor discrete groups. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.
  • Nicolas Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. T. XXXIV (rozdz. IV-VI). Paris: Hermann, 1968.