Bardziej elementarny opis grup Galois w języku grup permutacji można znaleźć w artykule dotyczącym teorii Galois.

Grupa Galoisgrupa związana z określonym rodzajem rozszerzenia ciała. Badanie rozszerzeń ciał (i wielomianów je produkujących) za pomocą grup Galois nazywa się teorią Galois, której nazwa pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który pierwszy zastosował wspomnianą metodę.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie rozszerzeniem ciała   co zapisuje się   lub   i czyta „  przez  ”. Rozważmy wszystkie automorfizmy   tzn. izomorfizmy   ciała   w siebie takie, że   dla każdego   Zbiór takich automorfizmów z operacją składania funkcji tworzy grupę nazywaną grupą automorfizmów tego rozszerzenia, oznaczaną  

Jeżeli   jest rozszerzeniem Galois, to   nazywa się grupą Galois (rozszerzenia)   nad   i oznacza zwykle symbolem   lub krótko  

PrzykładyEdytuj

W poniższych przykładach   oznacza ciało, zaś   są ciałami odpowiednio liczb zespolonych, rzeczywistych i wymiernych. Zapis   oznacza rozszerzenie ciała otrzymane przez dołączenie elementu   do ciała  

  •   jest grupą trywialną (tzn. jednoelementową).
  •   ma dwa elementy, automorfizm tożsamościowy i automorfizm sprzężenia zespolonego.
  •   jest trywialna. Można pokazać, że dowolny  -automorfizm musi zachowywać uporządkowanie liczb rzeczywistych, skąd musi być odwzorowaniem tożsamościowym.
  •   jest grupą nieskończoną.
  •   ma dwa elementy, automorfizm tożsamościowy i automorfizm zamieniający elementy   i  
  • Rozważmy ciało   Grupa   zawiera wyłącznie automorfizm tożsamościowy. Jest tak, ponieważ   nie jest rozszerzeniem normalnym, gdyż brak pozostałych dwóch pierwiastków sześciennych z 2 (oba zespolone) w rozszerzeniu – innymi słowy   nie jest ciałem rozkładu.
  • Rozważmy teraz   gdzie   jest pierwiastkiem pierwotnym trzeciego stopnia z jedynki. Grupa   jest izomorficzna z   lub grupą diedralną rzędu 6, a   jest w rzeczywistości ciałem rozkładu wielomianu   nad  

UwagiEdytuj

Własność Galois rozszerzenia ciała pozwala zgodnie z zasadniczym twierdzeniem teorii Galois, przyporządkowywać podciałom ciała podgrupy jego grupy Galois.

Grupa Galois rozszerzenia Galois z topologią Krulla jest grupą proskończoną.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj